7 Transformaciones Lineales
7.1 Definición de Transformación Lineal
Motivación
En Álgebra Lineal aparecen con frecuencia funciones que transforman vectores de un espacio vectorial en vectores de otro espacio vectorial. Algunas de estas funciones tienen una estructura especial: respetan la suma de vectores y la multiplicación por escalares. A estas funciones se les llama transformaciones lineales.
Ejemplo: reflexión respecto al eje \(x\)
En \(\mathbb{R}^2\), definimos una función \(T\) por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}. \]
Geométricamente, esta transformación toma un vector del plano y lo refleja respecto al eje \(x\).
Es decir, el punto \((x,y)\) se transforma en \((x,-y)\).
Más adelante se verifica que esta función es una transformación lineal de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\).
Funciones definidas por matrices
Un sistema lineal puede escribirse como
\[ A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \]
donde \(A\) es una matriz de tamaño \(m\times n\),
\[ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, \]
y
\[ \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m. \]
Si la matriz \(A\) está fija, podemos interpretar la expresión
\[ A\mathbf{x} \]
como una función que toma un vector \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) y produce un vector \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\).
Es decir,
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, \]
definida por
\[ T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}. \]
Esta función cumple dos propiedades importantes:
\[ A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}, \]
y
\[ A(\alpha \mathbf{x})=\alpha A\mathbf{x}. \]
Estas propiedades son precisamente las que caracterizan a las transformaciones lineales.
Definición de transformación lineal
Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales reales. Una función
\[ T:V\to W \]
se llama transformación lineal si para todo \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\) y todo escalar \(\alpha\in\mathbb{R}\) se cumplen:
\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}), \]
y
\[ T(\alpha\mathbf{v})=\alpha T(\mathbf{v}). \]
La primera propiedad dice que \(T\) respeta la suma de vectores. La segunda dice que \(T\) respeta la multiplicación por escalares.
Notación
Si escribimos
\[ T:V\to W, \]
esto significa que \(T\) toma vectores de \(V\) y los transforma en vectores de \(W\).
Se puede escribir indistintamente
\[ T\mathbf{v} \]
o
\[ T(\mathbf{v}). \]
Ambas expresiones significan lo mismo.
Las transformaciones lineales también se llaman con frecuencia operadores lineales.
Nota:
La condición
\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \]
dice que transformar una suma produce el mismo resultado que transformar cada vector por separado y luego sumar los resultados.
De manera similar, la condición
\[ T(\alpha \mathbf{v})=\alpha T(\mathbf{v}) \]
dice que multiplicar un vector por un escalar antes de transformarlo produce el mismo resultado que transformar primero el vector y luego multiplicar el resultado por ese escalar.
Estas dos propiedades garantizan que la transformación respeta la estructura lineal del espacio vectorial. En otras palabras, si un vector se puede escribir como combinación lineal
\[ \mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k, \]
entonces una transformación lineal satisface
\[ T(\mathbf{v}) = T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k). \]
Usando las dos propiedades de la definición, se obtiene
\[ T(\mathbf{v}) = c_1T(\mathbf{v}_1)+c_2T(\mathbf{v}_2)+\cdots+c_kT(\mathbf{v}_k). \]
Es decir, una transformación lineal convierte combinaciones lineales en combinaciones lineales, conservando los mismos coeficientes.
Esta es la razón por la que basta verificar las dos propiedades anteriores: juntas aseguran que la transformación no altera la forma en que los vectores se combinan linealmente.
En palabras simples, una transformación lineal permite pasar de una combinación lineal en el espacio de entrada a una combinación lineal en el espacio de salida:
\[ \boxed{ T\left(\sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i\right) = \sum_{i=1}^k c_iT(\mathbf{v}_i) } \]
Por eso, una forma sencilla de entender una transformación lineal es:
Una transformación lineal transforma una combinación lineal de vectores de entrada en la misma combinación lineal de los vectores transformados en el espacio de salida.
Ejemplo: transformación lineal de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\ x-y\\ 3y \end{pmatrix}. \]
Por ejemplo,
\[ T \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+(-3)\\ 2-(-3)\\ 3(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 5\\ -9 \end{pmatrix}. \]
Para verificar que \(T\) es lineal, tomemos
\[ \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2. \]
Entonces
\[ T\left[ \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right] = T \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}. \]
Por la definición de \(T\),
\[ T \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2+y_1+y_2\\ x_1+x_2-y_1-y_2\\ 3y_1+3y_2 \end{pmatrix}. \]
Esto se puede escribir como
\[ \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_1-y_1\\ 3y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2+y_2\\ x_2-y_2\\ 3y_2 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ T\left[ \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right] = T \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + T \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}. \]
Además, para un escalar \(\alpha\),
\[ T\left[ \alpha \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \right] = T \begin{pmatrix} \alpha x\\ \alpha y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x+\alpha y\\ \alpha x-\alpha y\\ 3\alpha y \end{pmatrix}. \]
Factorizando \(\alpha\),
\[ T\left[ \alpha \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \right] = \alpha \begin{pmatrix} x+y\\ x-y\\ 3y \end{pmatrix} = \alpha T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. \]
Por tanto, \(T\) es una transformación lineal.
Comprobación alternativa usando la base canónica
Consideremos la transformación
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\ x-y\\ 3y \end{pmatrix}. \]
La idea es usar que todo vector de \(\mathbb{R}^2\) se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base canónica:
\[ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Ahora calculamos la imagen de los vectores canónicos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0\\ 1-0\\ 3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1\\ 0-1\\ 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}. \]
Por tanto, podemos reescribir \(T\) como
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}. \]
En efecto,
\[ x \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ x\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y\\ -y\\ 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\ x-y\\ 3y \end{pmatrix}. \]
Así, \(T\) toma las coordenadas del vector de entrada,
\[ (x,y), \]
y las usa como coeficientes de una combinación lineal de dos vectores fijos en el espacio de salida:
\[ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}. \]
Esto muestra que \(T\) preserva combinaciones lineales. En efecto, si
\[ \mathbf{v}_1= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2= \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}, \]
y \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\), entonces
\[ c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} c_1x_1+c_2x_2\\ c_1y_1+c_2y_2 \end{pmatrix}. \]
Usando la forma anterior,
\[ T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2) = (c_1x_1+c_2x_2) \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + (c_1y_1+c_2y_2) \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}. \]
Agrupando términos,
\[ T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2) = c_1 \left[ x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y_1 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \right] + c_2 \left[ x_2 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y_2 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \right]. \]
Pero
\[ x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y_1 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} = T(\mathbf{v}_1), \]
y
\[ x_2 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + y_2 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} = T(\mathbf{v}_2). \]
Por tanto,
\[ T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2) = c_1T(\mathbf{v}_1)+c_2T(\mathbf{v}_2). \]
En conclusión,
\[ \boxed{ T \text{ es una transformación lineal.} } \]
La idea central es que \(T\) transforma una combinación lineal en \(\mathbb{R}^2\) en la misma combinación lineal de sus imágenes en \(\mathbb{R}^3\).
Ejemplo: transformación cero
Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales. Definimos
\[ T:V\to W \]
por
\[ T(\mathbf{v})=\mathbf{0} \]
para todo \(\mathbf{v}\in V\).
Entonces
\[ T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathbf{0}, \]
y
\[ T(\mathbf{v}_1)+T(\mathbf{v}_2) = \mathbf{0}+\mathbf{0} = \mathbf{0}. \]
Además,
\[ T(\alpha\mathbf{v})=\mathbf{0} \]
y
\[ \alpha T(\mathbf{v})=\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}. \]
Por tanto, \(T\) es lineal. Esta transformación se llama transformación cero.
Ejemplo: transformación identidad
Sea \(V\) un espacio vectorial. Definimos
\[ I:V\to V \]
por
\[ I(\mathbf{v})=\mathbf{v} \]
para todo \(\mathbf{v}\in V\).
Esta transformación deja cada vector igual. Es decir, no modifica los elementos del espacio.
Es claro que
\[ I(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{u}+\mathbf{v}=I(\mathbf{u})+I(\mathbf{v}), \]
y
\[ I(\alpha\mathbf{v})=\alpha\mathbf{v}=\alpha I(\mathbf{v}). \]
Por tanto, \(I\) es una transformación lineal. Se llama transformación identidad u operador identidad.
Ejemplo: reflexión respecto al eje \(y\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}. \]
Geométricamente, esta transformación refleja el vector respecto al eje \(y\).
Es decir, transforma \((x,y)\) en \((-x,y)\).
Esta transformación es lineal: la idea es usar que todo vector de \(\mathbb{R}^2\) se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base canónica:
\[ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Ahora calculamos la imagen de los vectores canónicos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Por tanto, podemos reescribir \(T\) como
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
En efecto,
\[ x \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}. \]
Esto muestra que \(T\) toma las coordenadas del vector de entrada,
\[ (x,y), \]
y las usa como coeficientes de una combinación lineal de dos vectores fijos en el espacio de salida:
\[ \begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Es decir, \(T\) transforma una combinación lineal de los vectores canónicos de entrada en la misma combinación lineal de sus imágenes.
Por tanto,
\[ \boxed{ T \text{ es una transformación lineal.} } \]
Ejemplo: transformaciones dadas por matrices
Sea \(A\) una matriz de tamaño \(m\times n\). Definimos
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]
por
\[ T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}. \]
Como la multiplicación matricial satisface
\[ A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}, \]
y
\[ A(\alpha\mathbf{x})=\alpha A\mathbf{x}, \]
se concluye que \(T\) es una transformación lineal.
Por tanto, toda matriz \(A\) de tamaño \(m\times n\) define una transformación lineal de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
Más adelante se verá que, en espacios vectoriales de dimensión finita, toda transformación lineal puede representarse mediante una matriz.
Ejemplo: transformación de rotación
Supongamos que un vector
\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \]
se rota un ángulo \(\theta\) en sentido contrario a las agujas del reloj.
El vector rotado se denota por
\[ \mathbf{v}' = \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}. \]
Las coordenadas del vector rotado están dadas por
\[ x'=x\cos\theta-y\sin\theta, \]
y
\[ y'=x\sin\theta+y\cos\theta. \]
Estas ecuaciones pueden escribirse matricialmente como
\[ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. \]
Definimos
\[ A_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \]
Entonces la transformación
\[ T(\mathbf{v})=A_\theta\mathbf{v} \]
se llama transformación de rotación.
Como está dada por una matriz, es una transformación lineal.
Ejemplo: proyecciones en \(\mathbb{R}^3\)
Definimos
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]
por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Esta transformación proyecta un vector del espacio sobre el plano \(xy\).
También podemos definir
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 0\\ z \end{pmatrix}. \]
Esta transformación proyecta un vector del espacio sobre el plano \(xz\).
Ambas son transformaciones lineales. (Comprobarlo a través de la base canónica)
Ejemplo: operador de transposición
Sea
\[ T:M_{mn}\to M_{nm} \]
definida por
\[ T(A)=A^\top. \]
Como
\[ (A+B)^\top=A^\top+B^\top, \]
y
\[ (\alpha A)^\top=\alpha A^\top, \]
se concluye que \(T\) es una transformación lineal.
Esta transformación se llama operador de transposición.
Nota: no toda función con gráfica lineal es transformación lineal
Considere la función
\[ T:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
definida por
\[ T(x)=2x+3. \]
Aunque su gráfica es una recta, esta función no es una transformación lineal.
En efecto,
\[ T(x+y)=2(x+y)+3=2x+2y+3, \]
mientras que
\[ T(x)+T(y)=(2x+3)+(2y+3)=2x+2y+6. \]
Como estas expresiones no son iguales, \(T\) no es lineal.
Las transformaciones lineales de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) son exactamente las funciones de la forma
\[ T(x)=mx, \]
es decir, las rectas que pasan por el origen.
Por tanto, una función afín
\[ f(x)=mx+b \]
es una transformación lineal si y sólo si
\[ b=0. \]
7.2 Propiedades de las transformaciones lineales.
Propiedades básicas de una transformación lineal
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal entre espacios vectoriales. Entonces se cumplen las siguientes propiedades.
- La transformación envía el cero en cero
\[ T(\mathbf{0})=\mathbf{0}. \]
Aquí, el vector cero de la izquierda pertenece a \(V\), mientras que el vector cero de la derecha pertenece a \(W\).
- La transformación respeta restas
Para cualesquiera \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\),
\[ T(\mathbf{u}-\mathbf{v}) = T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}). \]
Esto se obtiene porque
\[ \mathbf{u}-\mathbf{v} = \mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}. \]
Entonces, usando linealidad,
\[ T(\mathbf{u}-\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}) = T(\mathbf{u})+T((-1)\mathbf{v}) = T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}). \]
- La transformación preserva combinaciones lineales
Si
\[ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\in V \]
y
\[ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{R}, \]
entonces
\[ T(\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n) = \alpha_1T(\mathbf{v}_1)+\alpha_2T(\mathbf{v}_2)+\cdots+\alpha_nT(\mathbf{v}_n). \]
Esta es una de las ideas más importantes sobre transformaciones lineales: una transformación lineal convierte combinaciones lineales en combinaciones lineales, conservando los mismos coeficientes.
Una transformación lineal queda determinada por su efecto sobre una base
Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión finita con base
\[ B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}. \]
Si se conoce la imagen de cada vector de la base,
\[ T(\mathbf{v}_1),T(\mathbf{v}_2),\ldots,T(\mathbf{v}_n), \]
entonces se conoce completamente la transformación \(T\).
En efecto, si \(\mathbf{v}\in V\), entonces existe una única forma de escribirlo como
\[ \mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n. \]
Como \(T\) es lineal,
\[ T(\mathbf{v}) = \alpha_1T(\mathbf{v}_1)+\alpha_2T(\mathbf{v}_2)+\cdots+\alpha_nT(\mathbf{v}_n). \]
Por tanto, basta conocer la transformación sobre una base para conocerla sobre todo el espacio.
Teorema: unicidad de una transformación lineal definida sobre una base
Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión finita con base
\[ B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}. \]
Suponga que \(T_1\) y \(T_2\) son transformaciones lineales de \(V\) en \(W\) tales que
\[ T_1(\mathbf{v}_i)=T_2(\mathbf{v}_i) \]
para todo
\[ i=1,2,\ldots,n. \]
Entonces
\[ T_1=T_2. \]
Es decir, dos transformaciones lineales que coinciden en una base deben coincidir en todo el espacio.
Ejemplo: conocer la transformación sobre la base canónica
Sea
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \]
una transformación lineal tal que
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}, \]
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ -3 \end{pmatrix}. \]
Calculemos
\[ T \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix}. \]
Primero escribimos el vector como combinación lineal de la base canónica:
\[ \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Como \(T\) es lineal,
\[ T \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} = 3T \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - 4T \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + 5T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Sustituyendo las imágenes conocidas,
\[ T \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 5\\ -3 \end{pmatrix}. \]
Entonces
\[ T \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4\\ -16 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\\ -15 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ T \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\\ -22 \end{pmatrix}. \]
Existencia de una transformación lineal definida sobre una base
Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión finita con base
\[ B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}. \]
Sean
\[ \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_n \]
vectores en un espacio vectorial \(W\).
Entonces existe una única transformación lineal
\[ T:V\to W \]
tal que
\[ T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i, \qquad i=1,2,\ldots,n. \]
La transformación se define de la siguiente manera. Si
\[ \mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n, \]
entonces
\[ T(\mathbf{v}) = \alpha_1\mathbf{w}_1+\alpha_2\mathbf{w}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{w}_n. \]
Los vectores \(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\) no tienen que ser linealmente independientes ni distintos entre sí.
Ejemplo: transformación lineal de \(\mathbb{R}^2\) hacia un plano en \(\mathbb{R}^3\)
Queremos definir una transformación lineal de \(\mathbb{R}^2\) en el plano
\[ W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} : 2x-y+3z=0 \right\}. \]
Una base para este plano es
\[ \mathbf{w}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{w}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Usamos la base canónica de \(\mathbb{R}^2\):
\[ \mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Definimos una transformación lineal \(T:\mathbb{R}^2\to W\) por
\[ T(\mathbf{e}_1)= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T(\mathbf{e}_2)= \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Entonces, para cualquier vector
\[ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2, \]
se tiene
\[ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Por linealidad,
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = xT \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + yT \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Así,
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2x+3y\\ y \end{pmatrix}. \]
Por ejemplo,
\[ T \begin{pmatrix} 5\\ -7 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} - 7 \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Entonces
\[ T \begin{pmatrix} 5\\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 10\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ -21\\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ -11\\ -7 \end{pmatrix}. \]
7.3 Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales, y sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
Núcleo
El núcleo de \(T\), denotado por \(\operatorname{nu}(T)\), es el conjunto de vectores del dominio que se transforman en el vector cero:
\[ \operatorname{nu}(T)=\operatorname{ker}(T)=\operatorname{N}(T) = \{\mathbf{v}\in V:T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}. \]
Es decir, el núcleo responde la pregunta:
¿Qué vectores de entrada terminan siendo el vector cero?
El núcleo siempre contiene al vector cero, porque toda transformación lineal cumple
\[ T(\mathbf{0})=\mathbf{0}. \]
Imagen
La imagen de \(T\), denotada por \(\operatorname{im}(T)\), es el conjunto de todos los vectores que se pueden obtener como salida de la transformación:
\[ \operatorname{im}(T)=\operatorname{I}(T) = \{\mathbf{w}\in W:\mathbf{w}=T(\mathbf{v}) \text{ para algún } \mathbf{v}\in V\}. \]
La imagen responde la pregunta:
¿Qué vectores del codominio se pueden alcanzar aplicando \(T\)?
Núcleo e imagen son subespacios
Si
\[ T:V\to W \]
es una transformación lineal, entonces:
\[ \operatorname{nu}(T) \]
es un subespacio de \(V\), y
\[ \operatorname{im}(T) \]
es un subespacio de \(W\).
Ejemplo: núcleo e imagen de la transformación cero
Sea
\[ T(\mathbf{v})=\mathbf{0} \]
para todo \(\mathbf{v}\in V\).
Entonces todos los vectores del dominio se transforman en cero. Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T)=V. \]
La única salida posible es el vector cero, entonces
\[ \operatorname{im}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
Ejemplo: núcleo e imagen de la transformación identidad
Sea
\[ T(\mathbf{v})=\mathbf{v} \]
para todo \(\mathbf{v}\in V\).
Entonces sólo el vector cero se transforma en cero, de modo que
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
Además, todos los vectores de \(V\) aparecen como salida, por lo que
\[ \operatorname{im}(T)=V. \]
Estos dos ejemplos muestran dos casos extremos:
- en la transformación cero, todo el dominio está en el núcleo;
- en la identidad, sólo el vector cero está en el núcleo.
Ejemplo: núcleo e imagen de una proyección sobre el plano \(xy\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Esta transformación proyecta un vector de \(\mathbb{R}^3\) sobre el plano \(xy\).
Núcleo
Para encontrar el núcleo, resolvemos
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Esto implica
\[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ x=0, \qquad y=0. \]
El valor de \(z\) queda libre. Entonces
\[ \operatorname{nu}(T) = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ z \end{pmatrix} :z\in\mathbb{R} \right\}. \]
Es decir, el núcleo es el eje \(z\).
Imagen
La imagen está formada por todos los vectores de la forma
\[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ \operatorname{im}(T) = \left\{ \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix} :x,y\in\mathbb{R} \right\}. \]
Es decir, la imagen es el plano \(xy\).
En este caso,
\[ \dim(\operatorname{nu}(T))=1, \]
y
\[ \dim(\operatorname{im}(T))=2. \]
Nulidad y rango de una transformación lineal
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
La nulidad de \(T\) se define como la dimensión del núcleo:
\[ \nu(T)=\dim(\operatorname{nu}(T)). \]
El rango de \(T\) se define como la dimensión de la imagen:
\[ \rho(T)=\dim(\operatorname{im}(T)). \]
Cuando una matriz \(A\) define una transformación
\[ T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}, \]
entonces:
\[ \operatorname{nu}(T)=N(A), \]
\[ \operatorname{im}(T)=C(A), \]
\[ \nu(T)=\nu(A), \]
y
\[ \rho(T)=\rho(A). \]
Es decir, el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal generalizan los conceptos correspondientes para matrices.
Teorema del rango: nulidad más rango es igual a la dimensión del dominio
\[dim(V)=\rho(T)+\nu(T)\]
Ejemplo: núcleo e imagen de una proyección ortogonal
Sea \(H\) un subespacio de \(\mathbb{R}^n\) y sea
\[ T(\mathbf{v})=\operatorname{proy}_H(\mathbf{v}). \]
Entonces la imagen de \(T\) es
\[ \operatorname{im}(T)=H, \]
porque toda proyección cae dentro de \(H\).
Además, por el teorema de descomposición ortogonal, todo vector puede escribirse como
\[ \mathbf{v} = \operatorname{proy}_H(\mathbf{v}) + \operatorname{proy}_{H^\perp}(\mathbf{v}). \]
Si
\[ T(\mathbf{v})=\mathbf{0}, \]
entonces
\[ \operatorname{proy}_H(\mathbf{v})=\mathbf{0}. \]
Por tanto, \(\mathbf{v}\) está completamente en la dirección perpendicular a \(H\), es decir,
\[ \mathbf{v}\in H^\perp. \]
Así,
\[ \operatorname{nu}(T)=H^\perp. \]
Por consiguiente,
\[ \rho(T)=\dim(H), \]
y
\[ \nu(T)=\dim(H^\perp). \]
Si \(H\subseteq\mathbb{R}^n\), entonces
\[ \nu(T)=n-\rho(T). \]
Ejemplo: núcleo e imagen del operador transpuesto
Sea
\[ T:M_{mn}\to M_{nm} \]
definida por
\[ T(A)=A^\top. \]
Si
\[ T(A)=A^\top=0, \]
entonces necesariamente
\[ A=0. \]
Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T)=\{0\}. \]
Además, toda matriz de \(M_{nm}\) puede obtenerse como la transpuesta de alguna matriz de \(M_{mn}\). Por tanto,
\[ \operatorname{im}(T)=M_{nm}. \]
Entonces
\[ \nu(T)=0, \]
y
\[ \rho(T)=nm. \]
Ejemplo: núcleo e imagen de una transformación de \(P_3\) en \(P_2\)
Sea
\[ T:P_3\to P_2 \]
definida por
\[ T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) = a_0+a_1x+a_2x^2. \]
Esta transformación elimina el término cúbico del polinomio.
Núcleo
Para que un polinomio esté en el núcleo, debe cumplirse que
\[ T(p)=0. \]
Es decir,
\[ a_0+a_1x+a_2x^2=0 \]
para todo \(x\).
Por igualdad de polinomios,
\[ a_0=0, \qquad a_1=0, \qquad a_2=0. \]
El coeficiente \(a_3\) queda libre. Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T) = \{a_3x^3:a_3\in\mathbb{R}\}. \]
Equivalentemente,
\[ \operatorname{nu}(T)=\operatorname{gen}\{x^3\}. \]
Así,
\[ \nu(T)=1. \]
Imagen
La imagen contiene todos los polinomios de grado menor o igual que \(2\):
\[ a_0+a_1x+a_2x^2 \]
Por tanto,
\[ \operatorname{im}(T)=P_2. \]
Como
\[ \dim(P_2)=3, \]
se tiene
\[ \rho(T)=3. \]
7.4 Representación matricial de una transformación lineal
Matriz asociada a una transformación lineal
Sea
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]
una transformación lineal.
Entonces existe una única matriz \(A_T\) de tamaño \(m\times n\) tal que
\[ T(\mathbf{x})=A_T\mathbf{x} \]
para todo
\[ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n. \]
La matriz \(A_T\) se llama matriz de transformación o representación matricial de \(T\). También se le denota \([T]\).
Cómo construir la matriz \([T]\)
Para construir la matriz de una transformación lineal
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, \]
se evalúa \(T\) en los vectores de la base canónica de \(\mathbb{R}^n\):
\[ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n. \]
Luego se colocan las imágenes como columnas:
\[ [T]= \begin{pmatrix} \mid & \mid & & \mid\\ T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_n)\\ \mid & \mid & & \mid \end{pmatrix}. \]
Es decir,
\[ \boxed{ [T]= \left[ T(\mathbf{e}_1)\;\;T(\mathbf{e}_2)\;\;\cdots\;\;T(\mathbf{e}_n) \right]. } \]
Relación entre transformación y matriz
Si
\[ T(\mathbf{x})=[T]\mathbf{x}, \]
entonces los conceptos asociados a \(T\) coinciden con los conceptos asociados a la matriz \(A_T\):
\[ \operatorname{im}(T)=\operatorname{im}([T]), \]
\[ \rho(T)=\rho([T]), \]
\[ \operatorname{nu}(T)=N([T]), \]
y
\[ \nu(T)=\nu([T]). \]
Por tanto, para calcular imagen, núcleo, rango y nulidad de una transformación lineal, basta estudiar su matriz asociada.
Ejemplo: matriz de una proyección sobre el plano \(xy\)
Considere la transformación
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Esta transformación proyecta un vector de \(\mathbb{R}^3\) sobre el plano \(xy\).
Calculamos la imagen de los vectores canónicos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \]
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ [T]= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
En efecto,
\[ [T] \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Ejemplo: transformación de \(\mathbb{R}^3\) en \(\mathbb{R}^4\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y\\ y+z\\ 2x-y-z\\ -x+y+2z \end{pmatrix}. \]
Calculamos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}, \]
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ [T]= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]
Al reducir por filas, se obtiene una matriz escalonada con tres pivotes:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ \rho(T)=3. \]
Como el dominio es \(\mathbb{R}^3\),
\[ \nu(T)=3-\rho(T)=3-3=0. \]
Así,
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
Además, la imagen está generada por las columnas pivote de la matriz original:
\[ \operatorname{im}(T) = \operatorname{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \right\}. \]
Ejemplo: transformación de \(\mathbb{R}^3\) en \(\mathbb{R}^3\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-y+3z\\ 4x-2y+6z\\ -6x+3y-9z \end{pmatrix}. \]
Calculamos las imágenes de los vectores canónicos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -6 \end{pmatrix}, \]
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ -9 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ A_T= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 4 & -2 & 6\\ -6 & 3 & -9 \end{pmatrix}. \]
Las columnas son múltiplos de la primera columna, por lo que
\[ \rho(T)=1. \]
Así,
\[ \operatorname{im}(T) = \operatorname{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -6 \end{pmatrix} \right\}. \]
Para encontrar el núcleo, resolvemos
\[ [T]\mathbf{x}=\mathbf{0}. \]
El sistema se reduce a
\[ 2x-y+3z=0. \]
Entonces
\[ y=2x+3z. \]
Por tanto,
\[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2x+3z\\ z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Así,
\[ \operatorname{nu}(T) = \operatorname{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \right\}. \]
Entonces,
\[ \nu(T)=2, \qquad \rho(T)=1. \]
Ejemplo: transformación cero e identidad
Si
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]
es la transformación cero, entonces
\[ T(\mathbf{x})=\mathbf{0} \]
para todo \(\mathbf{x}\). Por tanto, su matriz asociada es la matriz cero de tamaño \(m\times n\).
Si
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n \]
es la transformación identidad, entonces
\[ T(\mathbf{x})=\mathbf{x}. \]
En este caso,
\[ [T]=I_n. \]
Ejemplo: matriz de una rotación
Si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) rota cada vector un ángulo \(\theta\) en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces su representación matricial es
\[ [T]= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \]
Es decir,
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. \]
Representación matricial con bases arbitrarias
Hasta ahora se han usado bases canónicas. Sin embargo, si \(V\) y \(W\) son espacios vectoriales de dimensión finita, también podemos construir matrices de transformación usando bases no estándar.
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
Supongamos que
\[ B_1=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} \]
es una base de \(V\) y
\[ B_2=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_m\} \]
es una base de \(W\).
Entonces existe una única matriz \([T]_{B_1}^{B_2}\) de tamaño \(m\times n\) tal que
\[ [T(\mathbf{x})]^{B_2}=[T]_{B_1}^{B_2}[\mathbf{x}]^{B_1} \]
La matriz \([T]_{B_1}^{B_2}\) depende de las bases elegidas. Si se cambian las bases, cambia la representación matricial.
Cómo construir la matriz con bases no estándar
Para construir \([T]_{B_1}^{B_2}\) respecto a las bases \(B_1\) y \(B_2\):
- Se calcula \(T(\mathbf{v}_1),T(\mathbf{v}_2),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\).
- Cada imagen se expresa en coordenadas respecto a la base \(B_2\).
- Esos vectores coordenados se colocan como columnas de la matriz.
Es decir,
\[ [T]_{B_1}^{B_2}= \left[ [T(\mathbf{v}_1)]^{B_2} \;\; [T(\mathbf{v}_2)]^{B_2} \;\; \cdots \;\; [T(\mathbf{v}_n)]^{B_2} \right]. \]
Rango y nulidad con bases arbitrarias
Si \(T:V\to W\) es una transformación lineal, \(\dim(V)=n\), y \(A_T\) es cualquier representación matricial de \(T\), entonces
\[ \rho(T)=\rho(A_T), \]
\[ \nu(T)=\nu(A_T), \]
y
\[ \nu(T)+\rho(T)=n. \]
Esto generaliza el teorema de rango-nulidad.
Ejemplo: transformación de \(P_2\) en \(P_3\)
Sea
\[ T:P_2\to P_3 \]
definida por
\[ (Tp)(x)=xp(x). \]
Usamos las bases estándar
\[ B_1=\{1,x,x^2\} \]
en \(P_2\) y
\[ B_2=\{1,x,x^2,x^3\} \]
en \(P_3\).
Calculamos:
\[ T(1)=x, \]
\[ T(x)=x^2, \]
y
\[ T(x^2)=x^3. \]
Por tanto,
\[ [T(1)]^{B_2} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad [T(x)]^{B_2} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \]
y
\[ [T(x^2)]^{B_2} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Así,
\[ [T]_{B_1}^{B_2}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Esta matriz tiene tres pivotes, por lo que
\[ \rho(T)=3. \]
Además,
\[ \nu(T)=3-3=0. \]
Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
La imagen está generada por
\[ x,\;x^2,\;x^3. \]
Así,
\[ \operatorname{im}(T)=\operatorname{gen}\{x,x^2,x^3\}. \]
Ejemplo: transformación de \(P_3\) en \(P_2\)
Sea
\[ T:P_3\to P_2 \]
definida por
\[ T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) = a_1+a_2x^2. \]
Usamos las bases estándar
\[ B_1=\{1,x,x^2,x^3\} \]
en \(P_3\) y
\[ B_2=\{1,x,x^2\} \]
en \(P_2\).
Calculamos:
\[ T(1)=0, \]
\[ T(x)=1, \]
\[ T(x^2)=x^2, \]
y
\[ T(x^3)=0. \]
Por tanto,
\[ [T]_{B_1}^{B_2}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]
Esta matriz tiene rango
\[ \rho(T)=2. \]
Una base para la imagen es
\[ \operatorname{im}(T)=\operatorname{gen}\{1,x^2\}. \]
Como el dominio tiene dimensión \(4\),
\[ \nu(T)=4-2=2. \]
Para encontrar el núcleo, resolvemos
\[ [T]_{B_1}^{B_2} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}. \]
Esto implica
\[ a_1=0, \qquad a_2=0. \]
Los coeficientes \(a_0\) y \(a_3\) son libres. Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T)=\operatorname{gen}\{1,x^3\}. \]
Ejemplo: representación matricial con una base no estándar
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}. \]
Considere las bases
\[ B_1=B_2= \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} \right\}. \]
Primero calculamos la imagen de los vectores de la base:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}. \]
Expresamos este vector en la base \(B_2\):
\[ \begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix} = -6 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ \left[ T \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} \right]^{B_2} = \begin{pmatrix} -6\\ -2 \end{pmatrix}. \]
Luego,
\[ T \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -5 \end{pmatrix}. \]
Y
\[ \begin{pmatrix} -1\\ -5 \end{pmatrix} = 17 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ \left[ T \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} \right]^{B_2} = \begin{pmatrix} 17\\ 6 \end{pmatrix}. \]
Así, la matriz de \(T\) respecto a la base \(B_1=B_2\) es
\[ [T]_{B_1}^{B_2}= \begin{pmatrix} -6 & 17\\ -2 & 6 \end{pmatrix}. \]
Por ejemplo, para
\[ \begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix}, \]
se tiene
\[ \begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix} = -13 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}. \]
Entonces
\[ \left[ \begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix} \right]^{B_1} = \begin{pmatrix} -13\\ -3 \end{pmatrix}. \]
Aplicando la matriz,
\[ [T]_{B_1}^{B_2} \begin{pmatrix} -13\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27\\ 8 \end{pmatrix}. \]
Esto significa que
\[ T \begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix} = 27 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} + 8 \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -11 \end{pmatrix}. \]
Este resultado coincide con el cálculo directo:
\[ T \begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+7\\ -4-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -11 \end{pmatrix}. \]
Ejemplo: matriz diagonal usando una base adecuada
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x+10y\\ -15x-13y \end{pmatrix}. \]
Considere la base
\[ B_1=B_2= \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix} \right\}. \]
Calculamos:
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}. \]
Además,
\[ T \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\ 9 \end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}. \]
Por tanto,
\[ [T]_{B_1}^{B_2}=[T]_{B_1}^{B_1}= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -3 \end{pmatrix}. \]
Este ejemplo muestra que, al escoger una base adecuada, la matriz de una transformación lineal puede tomar una forma más simple, incluso diagonal.
También puede obtenerse usando matrices de cambio de base. Si \([T]\) es la matriz de \(T\) en la base estándar y \([A]_{B_1}^C\) es la matriz de transición desde la base \(B_1\) hacia la base estándar, entonces
\[ [T]_{B_1}^{B_1}=[A]_{C}^{B_1}[T][A]_{B_1}^C=([A]_{B_1}^C)^{-1}[T][A]_{B_1}^C. \]
En este caso,
\[ [A]_{B_1}^C= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & -3 \end{pmatrix}, \qquad ([A]_{B_1}^C)^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \]
y
\[ [T]= \begin{pmatrix} 12 & 10\\ -15 & -13 \end{pmatrix}. \]
Entonces
\[ [T]_{B_1}^{B_1}=([A]_{B_1}^C)^{-1}[T][A]_{B_1}^C = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -3 \end{pmatrix}. \]
Cambio de base y representación matricial
Sea
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]
una transformación lineal.
Suponga que \([T]\) es la matriz de \(T\) respecto a las bases estándar.
Sea \([A]_{B_1}^C\) la matriz de transición desde una base \(B_1\) de \(\mathbb{R}^n\) hacia la base estándar, y sea \([A]_{B_2}^C\) la matriz de transición desde una base \(B_2\) de \(\mathbb{R}^m\) hacia la base estándar.
Entonces la matriz de \(T\) respecto a las bases \(B_1\) y \(B_2\) es
\[ [T]_{B_1}^{B_2}=([A]_{B_2}^C)^{-1}[T][A]_{B_1}^C. \]
7.5 Transformaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
7.5.1 Transformaciones inyectivas
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
Decimos que \(T\) es inyectiva si
\[ T(\mathbf{v}_1)=T(\mathbf{v}_2) \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2. \]
Es decir, dos vectores distintos del dominio no pueden tener la misma imagen.
Equivalentemente, \(T\) es inyectiva si cada vector en la imagen de \(T\) proviene de exactamente un vector del dominio.
Criterio para saber si una transformación es inyectiva
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal. Entonces
\[ T \text{ es inyectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
Es decir, una transformación lineal es inyectiva si y sólo si el único vector que se transforma en cero es el vector cero.
Ejemplo: una transformación inyectiva de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\)
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y\\ 2x+y \end{pmatrix}. \]
La matriz asociada a \(T\) es
\[ [T]= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}. \]
Como
\[ \det([T])=1(1)-(-1)(2)=3\neq 0, \]
la matriz es invertible. Por tanto,
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ T \text{ es inyectiva.} } \]
Ejemplo: una transformación que no es inyectiva
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y\\ 2x-2y \end{pmatrix}. \]
La matriz asociada es
\[ [T]= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & -2 \end{pmatrix}. \]
Las filas son dependientes, por lo que
\[ \rho([T])=1. \]
Como el dominio tiene dimensión \(2\),
\[ \nu([T])=2-\rho([T])=1. \]
Entonces
\[ \operatorname{nu}(T)\neq \{\mathbf{0}\}. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ T \text{ no es inyectiva.} } \]
Por ejemplo,
\[ T \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]
Dos vectores distintos tienen la misma imagen.
7.5.2 Transformaciones sobreyectivas
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
Decimos que \(T\) es sobreyectiva si para todo vector
\[ \mathbf{w}\in W \]
existe al menos un vector
\[ \mathbf{v}\in V \]
tal que
\[ T(\mathbf{v})=\mathbf{w}. \]
En otras palabras, \(T\) es sobreyectiva si todos los vectores del codominio se pueden alcanzar como imágenes de vectores del dominio.
Equivalentemente,
\[ T \text{ es sobreyectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{im}(T)=W. \]
Ejemplo: cómo determinar si una transformación es sobreyectiva
En el primer ejemplo de la sección anterior, la matriz asociada tiene rango
\[ \rho([T])=2. \]
Como el codominio es \(\mathbb{R}^2\), se tiene
\[ \operatorname{im}(T)=\mathbb{R}^2. \]
Por tanto, \(T\) es sobreyectiva.
En cambio, en el segundo ejemplo,
\[ \rho([T])=1. \]
Entonces la imagen es un subespacio de dimensión \(1\) de \(\mathbb{R}^2\), por ejemplo
\[ \operatorname{im}(T)= \operatorname{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} \right\}. \]
Como
\[ \operatorname{im}(T)\neq \mathbb{R}^2, \]
la transformación no es sobreyectiva.
Relación entre inyectividad y sobreyectividad cuando las dimensiones son iguales
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal y suponga que
\[ \dim(V)=\dim(W)=n. \]
Entonces:
- Si \(T\) es inyectiva, entonces \(T\) es sobreyectiva.
- Si \(T\) es sobreyectiva, entonces \(T\) es inyectiva.
Esto significa que, entre espacios de la misma dimensión finita, basta verificar una de las dos propiedades.
Qué ocurre cuando las dimensiones son distintas
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal, con
\[ \dim(V)=n \]
y
\[ \dim(W)=m. \]
Entonces:
- Si \(n>m\), la transformación no puede ser inyectiva.
- Si \(m>n\), la transformación no puede ser sobreyectiva.
Interpretación
Si el dominio tiene mayor dimensión que el codominio, hay “demasiadas direcciones” en el dominio. Por eso, necesariamente algunos vectores distintos tendrán la misma imagen.
Si el codominio tiene mayor dimensión que el dominio, la imagen no puede llenar todo el codominio. Por eso, la transformación no puede ser sobreyectiva.
Ejemplo: una transformación de \(\mathbb{R}^3\) en \(\mathbb{R}^2\) no es inyectiva
Sea
\[ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}. \]
Aquí,
\[ \dim(\mathbb{R}^3)=3 \]
y
\[ \dim(\mathbb{R}^2)=2. \]
Como el dominio tiene dimensión mayor que el codominio, \(T\) no puede ser inyectiva.
De hecho,
\[ T \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \end{pmatrix}, \]
y
\[ T \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \end{pmatrix}. \]
Como dos vectores distintos tienen la misma imagen,
\[ \boxed{ T \text{ no es inyectiva.} } \]
Ejemplo: una transformación de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\) no es sobreyectiva
Sea
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \]
definida por
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. \]
Aquí,
\[ \dim(\mathbb{R}^2)=2 \]
y
\[ \dim(\mathbb{R}^3)=3. \]
Como el codominio tiene dimensión mayor que el dominio, \(T\) no puede ser sobreyectiva.
Para verlo directamente, consideremos
\[ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Supongamos que existe
\[ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2 \]
tal que
\[ T \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Esto equivale al sistema
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]
Es decir,
\[ \begin{cases} x+2y=0,\\ 3x+4y=0,\\ 5x+6y=1. \end{cases} \]
La matriz aumentada es
\[ \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 6 & 1 \end{array} \right). \]
Reduciendo,
\[ \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 6 & 1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & -4 & 1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right). \]
La última fila representa
\[ 0=1, \]
lo cual es imposible. Por tanto, el sistema es inconsistente.
Así,
\[ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \notin \operatorname{im}(T). \]
Por consiguiente,
\[ \boxed{ T \text{ no es sobreyectiva.} } \]
7.5.3 Transformaciones biyectivas
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal.
Decimos que \(T\) es una transformación biyectiva si \(T\) es:
- inyectiva;
- sobreyectiva.
Es decir, una transformación biyectiva establece una correspondencia perfecta entre los vectores de \(V\) y los vectores de \(W\).
Espacios vectoriales equivalentes mediante una transformación biyectiva
Dos espacios vectoriales \(V\) y \(W\) son equivalentes en estructura si existe una transformación lineal biyectiva
\[ T:V\to W. \]
En ese caso se escribe
\[ V\cong W. \]
Intuitivamente, dos espacios relacionados mediante una transformación lineal biyectiva tienen la misma estructura lineal, aunque sus elementos puedan verse distintos.
Transformaciones biyectivas y matrices invertibles
Sea
\[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n \]
una transformación lineal con matriz asociada \([T]\).
Entonces \(T\) es una transformación biyectiva si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes se cumple:
\[ \det([T])\neq 0, \]
\[ [T] \text{ es invertible}, \]
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}, \]
\[ \operatorname{im}(T)=\mathbb{R}^n, \]
\[ \rho([T])=n. \]
Ejemplo: una transformación biyectiva entre \(\mathbb{R}^3\) y \(P_2\)
Definimos
\[ T:\mathbb{R}^3\to P_2 \]
por
\[ T \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = a+bx+cx^2. \]
Esta transformación toma un vector de coordenadas en \(\mathbb{R}^3\) y lo convierte en un polinomio de grado a lo sumo \(2\).
Linealidad
Si
\[ \mathbf{u}= \begin{pmatrix} a_1\\ b_1\\ c_1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}= \begin{pmatrix} a_2\\ b_2\\ c_2 \end{pmatrix}, \]
entonces
\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)x^2. \]
Esto coincide con
\[ T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}). \]
Además,
\[ T(\alpha\mathbf{u}) = \alpha a_1+\alpha b_1x+\alpha c_1x^2 = \alpha T(\mathbf{u}). \]
Por tanto, \(T\) es lineal.
Núcleo
Si
\[ T \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = 0, \]
entonces
\[ a+bx+cx^2=0. \]
Por igualdad de polinomios,
\[ a=0, \qquad b=0, \qquad c=0. \]
Así,
\[ \operatorname{nu}(T)=\{\mathbf{0}\}. \]
Por tanto, \(T\) es inyectiva.
Sobreyectividad
Sea
\[ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\in P_2. \]
Entonces
\[ p(x) = T \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2 \end{pmatrix}. \]
Por tanto, todo polinomio de \(P_2\) es imagen de algún vector de \(\mathbb{R}^3\). Así,
\[ \operatorname{im}(T)=P_2. \]
Por consiguiente, \(T\) es sobreyectiva.
Como \(T\) es inyectiva y sobreyectiva,
\[ \boxed{ T \text{ es una transformación biyectiva entre } \mathbb{R}^3 \text{ y } P_2. } \]
Propiedades de las transformaciones biyectivas
Sea
\[ T:V\to W \]
una transformación lineal biyectiva.
Entonces:
- Preserva conjuntos generadores
Si
\[ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} \]
genera a \(V\), entonces
\[ \{T(\mathbf{v}_1),T(\mathbf{v}_2),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\} \]
genera a \(W\).
- Preserva independencia lineal
Si
\[ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} \]
es linealmente independiente en \(V\), entonces
\[ \{T(\mathbf{v}_1),T(\mathbf{v}_2),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\} \]
es linealmente independiente en \(W\).
- Preserva bases
Si
\[ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} \]
es una base de \(V\), entonces
\[ \{T(\mathbf{v}_1),T(\mathbf{v}_2),\ldots,T(\mathbf{v}_n)\} \]
es una base de \(W\).
- Preserva dimensión
Si \(V\) tiene dimensión finita, entonces \(W\) también tiene dimensión finita y
\[ \dim(V)=\dim(W). \]
Transformaciones biyectivas entre espacios de dimensión finita
Dos espacios vectoriales reales de dimensión finita admiten una transformación lineal biyectiva entre ellos si y sólo si tienen la misma dimensión.
Es decir, si
\[ \dim(V)=\dim(W), \]
entonces existe una transformación lineal biyectiva
\[ T:V\to W. \]
Interpretación
El resultado anterior es fundamental:
Todos los espacios vectoriales reales de dimensión \(n\) tienen la misma estructura lineal.
Por ejemplo,
\[ \mathbb{R}^3 \]
y
\[ P_2 \]
admiten una transformación lineal biyectiva entre ellos, porque ambos tienen dimensión \(3\).
También,
\[ M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \]
y
\[ \mathbb{R}^4 \]
admiten una transformación lineal biyectiva entre ellos, porque ambos tienen dimensión \(4\).
Esto no significa que sus elementos sean iguales. Significa que, desde el punto de vista de la estructura vectorial, se comportan de la misma manera.
Resumen
Sea
\[ T:V\to W, \qquad \dim(V)=n, \qquad \dim(W)=m. \]
Entonces:
| Propiedad | Condición equivalente | Condición dimensional necesaria |
|---|---|---|
| \(T\) es inyectiva | \(N(T)=\{\mathbf{0}\}\) o \(\nu=0\) | \(n\leq m\) |
| \(T\) es sobreyectiva | \(I(T)=W\) o \(\rho=m\) | \(n\geq m\) |
| \(T\) es biyectiva | \(T\) es inyectiva y sobreyectiva | \(n=m\) |
En términos del sistema lineal asociado a la matriz \([T]\):
- \(T\) es inyectiva si el sistema homogéneo
\[ [T]\mathbf{x}=\mathbf{0} \]
tiene solución única.
- \(T\) es sobreyectiva si todo sistema
\[ [T]\mathbf{x}=\mathbf{b} \]
tiene solución para todo vector columna \(\mathbf{b}\) con \(m\) entradas.
- \(T\) es biyectiva si para todo vector columna \(\mathbf{b}\) con \(m\) entradas, el sistema
\[ [T]\mathbf{x}=\mathbf{b} \]
tiene solución única.