3  Modelos MA y ARMA: causalidad e invertibilidad

CA-0415 Series de Tiempo — Semana 3

3.1 Objetivos de aprendizaje

Al finalizar este capítulo, se espera que el estudiantado pueda:

1. formular e interpretar un modelo de medias móviles MA(\(q\)) como una combinación finita de innovaciones presentes y pasadas;
2. derivar la media, la varianza y la función de autocovarianza de un MA(\(q\)), y explicar por qué su ACF poblacional se corta después del rezago \(q\);
3. utilizar el operador de rezago para escribir modelos AR, MA y ARMA mediante polinomios;
4. explicar la diferencia entre estacionariedad, causalidad e invertibilidad;
5. demostrar la representación MA(\(\infty\)) de un proceso AR causal y relacionarla con las raíces del polinomio autorregresivo;
6. explicar por qué un MA puede ser estacionario sin ser invertible y por qué la invertibilidad es una condición de identificación y recuperación de innovaciones;
7. formular un modelo ARMA(\(p,q\)) en su forma mínima y reconocer el problema de factores comunes entre los polinomios AR y MA;
8. derivar la estructura de segundo orden de un ARMA(1,1) y explicar por qué su ACF tiene una cola gobernada por la parte autorregresiva;
9. utilizar conjuntamente ACF y PACF como herramientas de identificación preliminar de modelos AR, MA y ARMA;
10. construir pronósticos con parámetros conocidos a partir de la representación causal y calcular la varianza del error de pronóstico;
11. distinguir entre innovación, residual o innovación reconstruida y error de pronóstico a horizonte \(h\);
12. interpretar computacionalmente las condiciones de causalidad e invertibilidad mediante raíces, coeficientes de impulso y recursiones de reconstrucción.

En Sección 2.9.1 introdujimos el polinomio autorregresivo y advertimos que la condición usual de raíces estaba relacionada con una representación no anticipativa del proceso. En este capítulo hacemos explícita esa relación. También completaremos el patrón de identificación iniciado en Sección 2.10: los modelos AR tienen PACF con corte y ACF con cola; los MA presentan el comportamiento complementario; los ARMA mixtos suelen presentar cola en ambas funciones (Shumway y Stoffer 2025, secs. 3.1–3.4; Prado et al. 2021, sec. 2.5).

3.2 De la memoria de la serie a la memoria de las perturbaciones

En este capítulo usaremos perturbación como traducción del término inglés shock. En las referencias, shock se utiliza para interpretar el efecto de una realización de la innovación \(\varepsilon_t\) sobre la trayectoria del proceso; por tanto, perturbación no designa una variable distinta. La variable aleatoria del modelo seguirá llamándose innovación \(\varepsilon_t\), mientras que hablaremos de una perturbación cuando queramos enfatizar el efecto que una realización de esa innovación produce y cómo dicho efecto se propaga a través del tiempo (Prado et al. 2021, sec. 2.1).

Un AR(1) estacionario puede escribirse como

\[ Y_t-\mu = \varepsilon_t +\phi\varepsilon_{t-1} +\phi^2\varepsilon_{t-2} +\cdots, \]

por lo que una perturbación ocurrida en el pasado puede influir indefinidamente, aunque su efecto disminuya cuando \(|\phi|<1\). Un modelo de medias móviles parte de una idea diferente: el valor actual depende de un número finito de perturbaciones recientes. Por ejemplo,

\[ Y_t-\mu = \varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1} \tag{3.1}\]

recuerda únicamente la innovación actual y la inmediatamente anterior.

Esta diferencia puede verse como una diferencia en la respuesta a un impulso. Si una innovación unitaria ocurre en el tiempo cero y no hay otras perturbaciones, un MA(1) responde solo durante dos períodos; un AR(1) causal responde durante un número infinito de períodos, con amplitud decreciente.

h_impulso <- 0:20
phi_impulso <- 0.7
theta_impulso <- 0.7

pesos_impulso <- bind_rows(
  tibble(
    h = h_impulso,
    peso = phi_impulso^h_impulso,
    Modelo = "AR(1), φ = 0.7"
  ),
  tibble(
    h = h_impulso,
    peso = c(1, theta_impulso, rep(0, length(h_impulso) - 2)),
    Modelo = "MA(1), θ = 0.7"
  )
)

ggplot(pesos_impulso, aes(x = h, y = peso)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_segment(aes(xend = h, yend = 0)) +
  geom_point() +
  facet_wrap(~Modelo, ncol = 1) +
  labs(
    x = "Rezago desde la perturbación",
    y = "Peso del impulso",
    title = "Memoria finita frente a memoria geométricamente decreciente"
  )

Figura 3.1: Respuesta de un MA(1) y un AR(1) a una innovación unitaria.

La Figura 3.1 anticipa una conexión central de la semana: la forma en que una perturbación se propaga determina tanto la estructura de autocorrelación como el comportamiento de los pronósticos.

3.3 El operador de rezago y la notación polinomial

Definimos el operador de rezago \(B\) mediante

\[ BY_t=Y_{t-1}. \tag{3.2}\]

Aplicarlo repetidamente produce

\[ B^jY_t=Y_{t-j}. \]

Por ejemplo, el AR(2)

\[ Y_t-\mu = \phi_1(Y_{t-1}-\mu) +\phi_2(Y_{t-2}-\mu) +\varepsilon_t \]

puede escribirse como

\[ \left(1-\phi_1B-\phi_2B^2\right)(Y_t-\mu) =\varepsilon_t. \]

Definiremos el polinomio autorregresivo

\[ \Phi(z) = 1-\phi_1z-\cdots-\phi_pz^p \tag{3.3}\]

como en Ecuación 2.27, y el polinomio de medias móviles

\[ \Theta(z) = 1+\theta_1z+\cdots+\theta_qz^q. \tag{3.4}\]

Usaremos la convención de signos de Shumway y Stoffer y de Prado, Ferreira y West: los términos MA aparecen con signo positivo en \(\Theta(B)\) (Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1; Prado et al. 2021, sec. 2.5.1).

NotaConvenciones de signos

Otros textos y programas pueden escribir la parte MA con signos negativos. No existe una diferencia sustantiva si la convención se mantiene consistentemente, pero el signo reportado para cada \(\theta_j\) cambia. En estas notas utilizaremos siempre

\[ \Theta(B)=1+\theta_1B+\cdots+\theta_qB^q. \]

Para simplificar derivaciones, definiremos con frecuencia el proceso centrado

\[ X_t=Y_t-\mu. \tag{3.5}\]

3.4 Modelos de medias móviles MA(\(q\))

Un proceso MA(\(q\)) se define por

\[ X_t = \varepsilon_t +\theta_1\varepsilon_{t-1} +\cdots +\theta_q\varepsilon_{t-q}, \tag{3.6}\]

con \(\varepsilon_t\sim WN(0,\sigma_\varepsilon^2)\). Si escribimos \(\theta_0=1\), la expresión se resume como

\[ X_t = \sum_{j=0}^{q}\theta_j\varepsilon_{t-j} = \Theta(B)\varepsilon_t. \tag{3.7}\]

A diferencia de un AR, un MA finito no requiere una restricción de raíces para ser débilmente estacionario. Es una combinación lineal finita de un ruido blanco; por ello, su media y su estructura de covarianza son invariantes en el tiempo para cualquier conjunto finito de coeficientes \(\theta_1,\ldots,\theta_q\). Si, además, las innovaciones son i.i.d., la representación finita también produce estacionariedad estricta (Prado et al. 2021, secs. 2.5.1–2.5.2; Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1.2).

3.4.1 Media y varianza

Como \(E(\varepsilon_t)=0\),

\[ E(X_t)=0, \]

y, por tanto,

\[ E(Y_t)=\mu. \]

Además, debido a que las innovaciones en tiempos distintos no están correlacionadas,

\[ \begin{aligned} \gamma(0) &=\operatorname{Var}(X_t)\\ &=\operatorname{Var}\left( \sum_{j=0}^{q}\theta_j\varepsilon_{t-j} \right)\\ &=\sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{q}\theta_j^2. \end{aligned} \tag{3.8}\]

3.4.2 Autocovarianza de un MA(\(q\))

Para \(h\geq0\),

\[ \gamma(h) = \operatorname{Cov}(X_t,X_{t-h}). \]

Usando Ecuación 3.7,

\[ X_t = \sum_{j=0}^{q}\theta_j\varepsilon_{t-j}, \]

y

\[ X_{t-h} = \sum_{k=0}^{q}\theta_k\varepsilon_{t-h-k}. \]

Entonces

\[ \gamma(h) = \sum_{j=0}^{q}\sum_{k=0}^{q} \theta_j\theta_k \operatorname{Cov}(\varepsilon_{t-j},\varepsilon_{t-h-k}). \]

La covarianza entre las innovaciones es cero salvo cuando sus índices coinciden:

\[ t-j=t-h-k, \]

lo que equivale a

\[ k=j-h. \]

Una forma equivalente, más conveniente para \(h\geq0\), es emparejar \(\varepsilon_{t-j}\) con \(\varepsilon_{t-h-(j-h)}\) y obtener

\[ \gamma(h) = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{q-h}\theta_j\theta_{j+h}, \qquad 0\leq h\leq q. \tag{3.9}\]

Si \(h>q\), no existe ninguna innovación común entre \(X_t\) y \(X_{t-h}\). Por ello,

\[ \gamma(h)=0, \qquad h>q. \tag{3.10}\]

Dividiendo por Ecuación 3.8,

\[ \rho(h) = \frac{ \sum_{j=0}^{q-h}\theta_j\theta_{j+h} }{ \sum_{j=0}^{q}\theta_j^2 }, \qquad 0\leq h\leq q, \]

y \(\rho(h)=0\) para \(h>q\). Esta es la razón matemática del corte exacto de la ACF poblacional de un MA(\(q\)) (Prado et al. 2021, sec. 2.5.2).

ImportanteEl corte de la ACF refleja ausencia de innovaciones compartidas

En un MA(\(q\)), dos observaciones separadas por más de \(q\) períodos dependen de conjuntos disjuntos de innovaciones. Bajo ruido blanco, esos conjuntos no comparten covarianza y la autocovarianza es cero. El corte no es una regla gráfica arbitraria: proviene directamente de la representación del proceso.

3.4.3 Ejemplo: MA(2)

Para

\[ X_t = \varepsilon_t +\theta_1\varepsilon_{t-1} +\theta_2\varepsilon_{t-2}, \tag{3.11}\]

se obtiene

\[ \gamma(0) = \sigma_\varepsilon^2 (1+\theta_1^2+\theta_2^2), \]

\[ \gamma(1) = \sigma_\varepsilon^2 (\theta_1+\theta_1\theta_2) = \sigma_\varepsilon^2\theta_1(1+\theta_2), \]

\[ \gamma(2) = \sigma_\varepsilon^2\theta_2, \]

y

\[ \gamma(h)=0, \qquad h\geq3. \]

set.seed(415)
theta_ma2 <- c(0.7, 0.2)
T_ma2 <- 250
lag_ma2 <- 20

y_ma2 <- as.numeric(stats::arima.sim(
  model = list(ma = theta_ma2),
  n = T_ma2,
  sd = 1
))

acf_ma2_teorica <- tibble(
  h = 0:lag_ma2,
  valor = as.numeric(stats::ARMAacf(
    ma = theta_ma2,
    lag.max = lag_ma2
  )),
  Tipo = "ACF teórica"
)

acf_ma2_muestral_obj <- stats::acf(
  y_ma2,
  lag.max = lag_ma2,
  plot = FALSE,
  demean = TRUE
)

acf_ma2_muestral <- tibble(
  h = 0:lag_ma2,
  valor = as.numeric(acf_ma2_muestral_obj$acf),
  Tipo = "ACF muestral"
)

bind_rows(acf_ma2_teorica, acf_ma2_muestral) |>
  ggplot(aes(x = h, y = valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_segment(aes(xend = h, yend = 0)) +
  facet_wrap(~Tipo, ncol = 1) +
  labs(
    x = "Rezago h",
    y = "Autocorrelación",
    title = "El corte es exacto en la ACF poblacional, no en la muestral"
  )

Figura 3.2: ACF teórica y ACF muestral de un MA(2) con \(\theta_1=0.7\) y \(\theta_2=0.2\).

La Figura 3.2 refuerza una advertencia de la semana 2: el corte es una propiedad poblacional. En una muestra, las autocorrelaciones posteriores a \(q\) no serán exactamente cero.

3.5 El MA(1) como modelo fundamental

Consideremos

\[ X_t = \varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}. \tag{3.12}\]

De Ecuación 3.8 y Ecuación 3.9,

\[ \gamma(0) = \sigma_\varepsilon^2(1+\theta^2), \tag{3.13}\]

\[ \gamma(1) = \sigma_\varepsilon^2\theta, \tag{3.14}\]

y

\[ \gamma(h)=0, \qquad h\geq2. \]

Por tanto,

\[ \rho(1) = \frac{\theta}{1+\theta^2}, \tag{3.15}\]

mientras \(\rho(h)=0\) para \(h\geq2\) (Prado et al. 2021, Example 2.6; Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1.2).

Dos características merecen atención. Primero, el signo de \(\rho(1)\) coincide con el signo de \(\theta\). Segundo,

\[ \left| \frac{\theta}{1+\theta^2} \right| \leq\frac12. \]

Así, un MA(1) nunca puede tener una autocorrelación de primer orden con magnitud superior a \(1/2\).

set.seed(415)
thetas_ma1 <- c(0.8, -0.8)

tray_ma1 <- map_dfr(
  thetas_ma1,
  ~ tibble(
    h = 1:180,
    valor = as.numeric(stats::arima.sim(
      model = list(ma = .x),
      n = 180,
      sd = 1
    )),
    theta = paste0("θ = ", .x),
    Tipo = "Trayectoria"
  )
)

acf_ma1 <- map_dfr(
  thetas_ma1,
  ~ tibble(
    h = 0:12,
    valor = as.numeric(stats::ARMAacf(
      ma = .x,
      lag.max = 12
    )),
    theta = paste0("θ = ", .x),
    Tipo = "ACF teórica"
  )
)

p_tray <- tray_ma1 |>
  ggplot(aes(x = h, y = valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_line() +
  facet_wrap(~ theta, nrow = 1) +
  labs(
    x = "Tiempo",
    y = NULL
  )

p_acf <- acf_ma1 |>
  ggplot(aes(x = h, y = valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_segment(
    aes(
      xend = h,
      y = 0,
      yend = valor
    )
  ) +
  facet_wrap(~ theta, nrow = 1) +
  scale_x_continuous(
    breaks = 0:12
  ) +
  labs(
    x = "Rezago",
    y = "ACF teórica"
  )

patchwork::wrap_plots(
  p_acf,
  p_tray,
  ncol = 1,
  heights = c(1, 2)
) +
  patchwork::plot_annotation(
    title = "El signo del coeficiente MA controla la asociación al primer rezago"
  )

Figura 3.3: Trayectorias y ACF teóricas de procesos MA(1) con coeficientes de distinto signo.

3.6 ¿Por qué necesitamos invertibilidad?

3.6.1 No unicidad del MA(1)

La fórmula Ecuación 3.15 contiene una dificultad de identificación. Si sustituimos \(\theta\) por \(1/\theta\),

\[ \frac{1/\theta}{1+1/\theta^2} = \frac{\theta}{1+\theta^2}. \]

Por tanto, \(\theta\) y \(1/\theta\) generan la misma ACF. Aún más, los dos modelos gaussianos

\[ X_t = \varepsilon_t+5\varepsilon_{t-1}, \qquad \varepsilon_t\overset{iid}{\sim}N(0,1), \tag{3.16}\]

y

\[ Z_t = u_t+0.2u_{t-1}, \qquad u_t\overset{iid}{\sim}N(0,25), \tag{3.17}\]

poseen la misma función de autocovarianza:

\[ \gamma(0)=26, \qquad \gamma(1)=5, \qquad \gamma(h)=0\quad(h>1). \]

Al ser gaussianos, tienen las mismas distribuciones finito-dimensionales. En consecuencia, observando únicamente la serie no podemos distinguir cuál de las dos parametrizaciones produjo los datos. Shumway y Stoffer utilizan precisamente este ejemplo para motivar la invertibilidad (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.6).

ImportanteInvertibilidad no es estacionariedad

Ambos modelos de Ecuación 3.16 y Ecuación 3.17 son estacionarios. La invertibilidad no se introduce para lograr estacionariedad, sino para escoger una representación identificable y hacer posible reconstruir las innovaciones a partir de la historia observada.

3.6.2 Invertir un MA(1)

De Ecuación 3.12,

\[ \varepsilon_t = X_t-\theta\varepsilon_{t-1}. \]

Sustituyendo hacia atrás,

\[ \begin{aligned} \varepsilon_t &=X_t-\theta(X_{t-1}-\theta\varepsilon_{t-2})\\ &=X_t-\theta X_{t-1}+\theta^2\varepsilon_{t-2}. \end{aligned} \]

Repitiendo el procedimiento,

\[ \varepsilon_t = X_t -\theta X_{t-1} +\theta^2X_{t-2} -\theta^3X_{t-3} +\cdots. \]

Si \(|\theta|<1\), los coeficientes forman una serie absolutamente sumable y podemos escribir

\[ \varepsilon_t = \sum_{j=0}^{\infty}(-\theta)^jX_{t-j}. \tag{3.18}\]

Usando operadores,

\[ X_t=(1+\theta B)\varepsilon_t, \]

de modo que

\[ \varepsilon_t =(1+\theta B)^{-1}X_t. \]

La expansión geométrica

\[ \frac{1}{1+\theta z} = \sum_{j=0}^{\infty}(-\theta)^jz^j \]

converge para \(|z|\leq1\) cuando \(|\theta|<1\) (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.6).

El polinomio MA es

\[ \Theta(z)=1+\theta z, \]

cuya raíz es

\[ z=-\frac{1}{\theta}. \]

Por tanto,

\[ |\theta|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \left|-\frac{1}{\theta}\right|>1. \]

La condición de invertibilidad del MA(1) equivale a que la raíz de \(\Theta(z)\) esté fuera del círculo unitario.

3.6.3 Una interpretación mediante el error de inicialización

Para un proceso MA(1),

\[ X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}, \]

la secuencia de innovaciones que generó el proceso satisface necesariamente

\[ \varepsilon_t = X_t-\theta\varepsilon_{t-1}. \]

En la práctica, sin embargo, las innovaciones \(\varepsilon_t\) no son observables. Para reconstruirlas a partir de la serie observada \(\{X_t\}\) utilizamos la misma relación recursiva,

\[ \widehat{\varepsilon}_t = X_t-\theta\widehat{\varepsilon}_{t-1}, \tag{3.19} \]

pero debemos comenzar con algún valor inicial \(\widehat{\varepsilon}_0\). Este valor inicial es una elección computacional y, en general, no coincide con la innovación \(\varepsilon_0\) que realmente intervino en la generación del proceso.

Por tanto, conviene distinguir entre:

• \(\varepsilon_t\): la innovación del proceso, es decir, la perturbación aleatoria que forma parte del modelo generador;
• \(\widehat{\varepsilon}_t\): la innovación reconstruida a partir de los datos mediante la recursión anterior.

Definamos el error de reconstrucción en el instante \(t\) como

\[ d_t = \widehat{\varepsilon}_t-\varepsilon_t. \]

Ahora comparemos las dos recursiones:

\[ \widehat{\varepsilon}_t = X_t-\theta\widehat{\varepsilon}_{t-1} \]

y

\[ \varepsilon_t = X_t-\theta\varepsilon_{t-1}. \]

Al restar la segunda de la primera, el término observado \(X_t\) se cancela y obtenemos

\[ d_t = -\theta \left( \widehat{\varepsilon}_{t-1} - \varepsilon_{t-1} \right) = -\theta d_{t-1}. \]

Por iteración,

\[ d_t = (-\theta)^t d_0. \tag{3.20} \]

Este resultado muestra cómo se propaga en el tiempo el error introducido por la elección inicial \(\widehat{\varepsilon}_0\).

Si \(|\theta|<1\), entonces

\[ |d_t| = |\theta|^t |d_0| \longrightarrow 0, \]

de modo que la influencia de una inicialización incorrecta desaparece geométricamente. Después de suficientes observaciones, las innovaciones reconstruidas prácticamente no dependen del valor escogido para \(\widehat{\varepsilon}_0\).

En cambio, si \(|\theta|>1\), entonces \(|\theta|^t\) crece con \(t\) y cualquier pequeña discrepancia inicial se amplifica. En ese caso, la reconstrucción recursiva de las innovaciones es inestable.

Esta es una interpretación computacional de la invertibilidad del MA(1): cuando \(|\theta|<1\), las innovaciones pueden recuperarse de manera estable a partir del presente y el pasado de la serie, y la influencia de condiciones iniciales arbitrarias desaparece con el tiempo.

error_inicial <- 1
h_inv <- 0:18

propagacion_error <- crossing(
  theta = c(0.6, 1.4),
  t = h_inv
) |>
  mutate(
    error_abs = abs((-theta)^t * error_inicial),
    Caso = if_else(
      theta < 1,
      "Invertible: |θ| = 0.6",
      "No invertible: |θ| = 1.4"
    )
  )

ggplot(propagacion_error, aes(x = t, y = error_abs, linetype = Caso)) +
  geom_line() +
  geom_point() +
  scale_y_log10() +
  labs(
    x = "Tiempo desde la inicialización",
    y = "|error de reconstrucción| (escala log10)",
    title = "La invertibilidad hace irrelevante el valor inicial"
  )

Figura 3.4: Propagación de un error inicial al reconstruir innovaciones de un MA(1).

La Figura 3.4 explica por qué la reconstrucción recursiva de innovaciones es estable en el caso invertible.

3.6.4 Invertibilidad de un MA(\(q\))

Para un MA(\(q\)),

\[ X_t=\Theta(B)\varepsilon_t. \]

El proceso es invertible si existe una expansión unilateral

\[ \varepsilon_t =\Pi(B)X_t = \sum_{j=0}^{\infty}\pi_jX_{t-j}, \tag{3.19}\]

con coeficientes absolutamente sumables. Para un MA(\(q\)) en forma mínima, esto ocurre cuando todas las raíces de

\[ \Theta(z)=0 \]

están fuera del círculo unitario (Shumway y Stoffer 2025, Property 3.2; Prado et al. 2021, sec. 2.5.1).

3.7 Causalidad: una representación no anticipativa

En la semana 2 usamos la condición de raíces del AR para construir una solución estacionaria en términos de innovaciones presentes y pasadas. Esa propiedad recibe el nombre de causalidad.

Un ARMA estacionario es causal si puede escribirse como

\[ X_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j}, \qquad \psi_0=1, \tag{3.20}\]

con

\[ \sum_{j=0}^{\infty}|\psi_j|<\infty. \]

En palabras, \(X_t\) depende únicamente de la innovación presente y de innovaciones pasadas, no de innovaciones futuras (Shumway y Stoffer 2025, Definition 3.7 and Property 3.1).

Advertencia“Causalidad” aquí no significa causalidad científica ni causalidad de Granger

En este capítulo, causalidad es una propiedad matemática de representación: el presente se expresa mediante perturbaciones presentes y pasadas. No afirma que una variable cause otra en sentido sustantivo. La causalidad de Granger y la inferencia causal son conceptos distintos.

3.7.1 El AR(1) causal

Para

\[ X_t=\phi X_{t-1}+\varepsilon_t, \]

la representación de Ecuación 2.18 es

\[ X_t = \sum_{j=0}^{\infty}\phi^j\varepsilon_{t-j}, \]

válida cuando \(|\phi|<1\). El polinomio AR es

\[ \Phi(z)=1-\phi z, \]

y su raíz \(1/\phi\) está fuera del círculo unitario precisamente cuando \(|\phi|<1\).

3.7.2 Una solución estacionaria que no es causal

La distinción entre estacionariedad y causalidad merece atención. Supongamos ahora \(|\phi|>1\). De

\[ X_{t+1}=\phi X_t+\varepsilon_{t+1} \]

podemos despejar

\[ X_t =\phi^{-1}X_{t+1} -\phi^{-1}\varepsilon_{t+1}. \]

Iterando hacia adelante,

\[ X_t = \phi^{-k}X_{t+k} - \sum_{j=1}^{k}\phi^{-j}\varepsilon_{t+j}. \tag{3.21}\]

Si buscamos una solución estacionaria con segundo momento finito, \(\phi^{-k}X_{t+k}\) converge a cero en media cuadrática cuando \(k\to\infty\), pues \(|\phi|>1\). Entonces

\[ X_t = - \sum_{j=1}^{\infty}\phi^{-j}\varepsilon_{t+j}. \tag{3.22}\]

La serie es estacionaria porque

\[ \sum_{j=1}^{\infty}\phi^{-2j}<\infty, \]

pero depende de perturbaciones futuras. Por ello no es causal. En esta representación, \(\varepsilon_t\) sigue siendo un ruido blanco que satisface la ecuación, pero ya no puede interpretarse como la innovación de \(X_t\) respecto de la historia pasada, pues \(X_t\) contiene información sobre valores futuros del ruido. Shumway y Stoffer usan este tipo de situación para motivar la restricción causal de los modelos ARMA (Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1.3).

ImportanteLo que se restringe en el modelo ARMA estándar

La estacionariedad por sí sola no garantiza una representación no anticipativa. En modelación y pronóstico trabajaremos con la solución estacionaria causal, porque permite interpretar las innovaciones como nuevas perturbaciones que llegan secuencialmente y construir pronósticos usando la información pasada.

3.7.3 Causalidad de un AR(\(p\))

Para

\[ \Phi(B)X_t=\varepsilon_t, \]

si todas las raíces de

\[ \Phi(z)=0 \]

están fuera del círculo unitario, \(1/\Phi(z)\) posee una expansión en serie de potencias convergente sobre el círculo unitario. Entonces

\[ X_t = \Phi(B)^{-1}\varepsilon_t = \Psi(B)\varepsilon_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j}. \tag{3.23}\]

La condición de raíces garantiza la representación causal estándar (Shumway y Stoffer 2025, Property 3.1 and Appendix B.3).

3.8 Modelos ARMA(\(p,q\))

Un proceso ARMA(\(p,q\)) estacionario puede escribirse como

\[ X_t = \phi_1X_{t-1} +\cdots+ \phi_pX_{t-p} +\varepsilon_t +\theta_1\varepsilon_{t-1} +\cdots+ \theta_q\varepsilon_{t-q}, \tag{3.24}\]

con \(X_t=Y_t-\mu\) y \(\varepsilon_t\sim WN(0,\sigma_\varepsilon^2)\). En forma polinomial,

\[ \Phi(B)X_t = \Theta(B)\varepsilon_t. \tag{3.25}\]

Esta expresión combina dos mecanismos:

• la parte AR transmite información mediante valores pasados de la propia serie;
• la parte MA transmite directamente los efectos de innovaciones recientes.

Prado, Ferreira y West presentan esta formulación en su sección dedicada a la estructura ARMA; Shumway y Stoffer la utilizan como base para causalidad, invertibilidad, ACF/PACF y pronóstico (Prado et al. 2021, sec. 2.5.1; Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1.3).

3.8.1 Representación mínima y factores comunes

Antes de hablar de órdenes \(p\) y \(q\), debemos excluir parametrizaciones redundantes. Considere

\[ (1-0.9B)X_t = (1-0.9B)\varepsilon_t. \]

Si cancelamos el factor común,

\[ X_t=\varepsilon_t. \]

El proceso es simplemente ruido blanco, aunque la ecuación inicial parece un ARMA(1,1). Por ello, llamaremos ARMA(\(p,q\)) en forma mínima a una representación donde \(\Phi(z)\) y \(\Theta(z)\) no tienen factores comunes (Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.1.3).

NotaEl orden es una propiedad de la representación mínima

Sin esta convención podríamos inflar artificialmente \(p\) y \(q\) multiplicando ambos lados de la ecuación por el mismo polinomio. La identificación del orden exige eliminar factores comunes antes de interpretar el modelo.

3.8.2 Causalidad e invertibilidad en un ARMA

Para un ARMA en forma mínima:

• es causal si todas las raíces de \(\Phi(z)\) están fuera del círculo unitario;
• es invertible si todas las raíces de \(\Theta(z)\) están fuera del círculo unitario.

Cuando ambas propiedades se cumplen,

\[ X_t = \Psi(B)\varepsilon_t, \qquad \Psi(B)=\Phi(B)^{-1}\Theta(B), \tag{3.26}\]

y también

\[ \varepsilon_t = \Pi(B)X_t, \qquad \Pi(B)=\Theta(B)^{-1}\Phi(B). \tag{3.27}\]

Así, el mismo proceso posee una representación MA(\(\infty\)) causal y una representación AR(\(\infty\)) invertible (Prado et al. 2021, sec. 2.5.1; Shumway y Stoffer 2025, Properties 3.1–3.2).

Tabla 3.1: Diferencias entre causalidad e invertibilidad.

Propiedad	Polinomio	Condicion	Representacion	Interpretacion
Causalidad	\(\Phi(z)\)	Raíces fuera del círculo unitario	\(X_t=\sum_{j\geq0}\psi_j\varepsilon_{t-j}\)	El presente depende de perturbaciones presentes y pasadas
Invertibilidad	\(\Theta(z)\)	Raíces fuera del círculo unitario	\(\varepsilon_t=\sum_{j\geq0}\pi_jX_{t-j}\)	Las perturbaciones pueden reconstruirse a partir de la historia observada

3.8.3 Visualización de las raíces en el plano complejo

Cuando los polinomios autorregresivo y de medias móviles son de grado al menos dos, pueden tener raíces complejas. Como sus coeficientes son reales, estas raíces aparecen en pares conjugados. En este caso, la representación en el plano complejo permite visualizar directamente las condiciones de causalidad e invertibilidad.

Para construir ejemplos controlados, recordemos que un par de raíces complejas conjugadas de módulo \(r\) y argumento \(\omega\),

\[ z_1 = r e^{i\omega}, \qquad z_2 = r e^{-i\omega}, \]

genera el polinomio

\[ \left(1-\frac{z}{z_1}\right) \left(1-\frac{z}{z_2}\right) = 1-\frac{2\cos(\omega)}{r}z +\frac{1}{r^2}z^2. \]

Por tanto, para el polinomio autorregresivo

\[ \Phi(z)=1-\phi_1z-\phi_2z^2, \]

un par de raíces con módulo \(r_\text{AR}\) y argumento \(\omega_\text{AR}\) corresponde a

\[ \phi_1 = \frac{2\cos(\omega_\text{AR})}{r_\text{AR}}, \qquad \phi_2 = -\frac{1}{r_\text{AR}^2}. \]

Análogamente, para

\[ \Theta(z)=1+\theta_1z+\theta_2z^2, \]

se tiene

\[ \theta_1 = -\frac{2\cos(\omega_\text{MA})}{r_\text{MA}}, \qquad \theta_2 = \frac{1}{r_\text{MA}^2}. \]

Esto permite construir modelos cuyas raíces estén deliberadamente dentro o fuera del círculo unitario.

crear_modelo <- function(
    modelo,
    r_ar,
    omega_ar,
    r_ma,
    omega_ma
) {
  tibble(
    Modelo = modelo,
    phi1 = 2 * cos(omega_ar) / r_ar,
    phi2 = -1 / r_ar^2,
    theta1 = -2 * cos(omega_ma) / r_ma,
    theta2 = 1 / r_ma^2
  )
}

modelos_raices <- bind_rows(
  crear_modelo(
    modelo = "Causal e invertible",
    r_ar = 1.45,
    omega_ar = pi / 3,
    r_ma = 1.60,
    omega_ma = 2 * pi / 3
  ),
  crear_modelo(
    modelo = "No causal",
    r_ar = 0.75,
    omega_ar = pi / 3,
    r_ma = 1.60,
    omega_ma = 2 * pi / 3
  ),
  crear_modelo(
    modelo = "No invertible",
    r_ar = 1.45,
    omega_ar = pi / 3,
    r_ma = 0.70,
    omega_ma = 2 * pi / 3
  )
)

raices_plot <- modelos_raices |>
  rowwise() |>
  mutate(
    AR = list(
      polyroot(c(1, -phi1, -phi2))
    ),
    MA = list(
      polyroot(c(1, theta1, theta2))
    )
  ) |>
  ungroup() |>
  select(Modelo, AR, MA) |>
  pivot_longer(
    cols = c(AR, MA),
    names_to = "Tipo",
    values_to = "raiz"
  ) |>
  unnest_longer(raiz) |>
  mutate(
    real = Re(raiz),
    imag = Im(raiz),
    modulo = Mod(raiz)
  )

circulo <- tibble(
  angulo = seq(0, 2 * pi, length.out = 400),
  real = cos(angulo),
  imag = sin(angulo)
)

ggplot() +
  geom_path(
    data = circulo,
    aes(x = real, y = imag),
    linewidth = 0.5
  ) +
  geom_hline(
    yintercept = 0,
    linewidth = 0.3
  ) +
  geom_vline(
    xintercept = 0,
    linewidth = 0.3
  ) +
  geom_point(
    data = raices_plot,
    aes(
      x = real,
      y = imag,
      shape = Tipo
    ),
    size = 3
  ) +
  facet_wrap(~ Modelo) +
  coord_equal(
    xlim = c(-1.8, 1.8),
    ylim = c(-1.8, 1.8)
  ) +
  labs(
    x = "Parte real",
    y = "Parte imaginaria",
    title = "Causalidad e invertibilidad en el plano complejo",
    subtitle = "Causalidad depende de las raíces AR; invertibilidad de las raíces MA",
    shape = "Polinomio"
  )

Figura 3.5: Raíces complejas conjugadas de los polinomios AR y MA en tres modelos ARMA(2,2). La causalidad depende de que las raíces AR estén fuera del círculo unitario, mientras que la invertibilidad depende de que las raíces MA estén fuera.

3.9 Los pesos \(\psi_j\) y la memoria de un ARMA

Si el modelo es causal,

\[ X_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j}. \]

Los coeficientes \(\psi_j\) cuantifican la respuesta del proceso a una perturbación unitaria ocurrida \(j\) períodos atrás. Como

\[ \Phi(B)\Psi(B)=\Theta(B), \]

podemos obtener los pesos igualando coeficientes de potencias de \(B\) (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.11; Prado et al. 2021, sec. 2.5.1). Con \(\psi_0=1\), para \(j\geq1\),

\[ \psi_j - \sum_{k=1}^{\min(p,j)}\phi_k\psi_{j-k} = \theta_j, \tag{3.28}\]

entendiendo \(\theta_j=0\) cuando \(j>q\).

Por ejemplo,

\[ \psi_1=\phi_1+\theta_1, \]

\[ \psi_2=\phi_1\psi_1+\phi_2+\theta_2, \]

y así sucesivamente.

La parte AR determina el comportamiento de la cola de los \(\psi_j\): una vez que se han agotado los términos MA explícitos, la recursión se vuelve homogénea y queda gobernada por las raíces de \(\Phi(z)\).

3.10 El ARMA(1,1) como modelo de trabajo

Consideremos

\[ X_t = \phi X_{t-1} +\varepsilon_t +\theta\varepsilon_{t-1}, \tag{3.29}\]

con \(|\phi|<1\) para causalidad y \(|\theta|<1\) para invertibilidad.

3.10.1 Representación MA(\(\infty\))

En notación polinomial,

\[ (1-\phi B)X_t = (1+\theta B)\varepsilon_t. \]

Por tanto,

\[ X_t = \frac{1+\theta B}{1-\phi B}\varepsilon_t. \]

Como

\[ \frac{1}{1-\phi B} = 1+\phi B+\phi^2B^2+\cdots, \]

se obtiene

\[ \begin{aligned} \Psi(B) &=(1+\theta B)(1+\phi B+\phi^2B^2+\cdots)\\ &=1+(\phi+\theta)B +\phi(\phi+\theta)B^2 +\phi^2(\phi+\theta)B^3+\cdots. \end{aligned} \]

Así,

\[ \psi_0=1 \]

y, para \(j\geq1\),

\[ \psi_j =(\phi+\theta)\phi^{j-1}. \tag{3.30}\]

La parte MA modifica los pesos iniciales, mientras la parte AR controla su decaimiento posterior.

parametros_psi <- tribble(
  ~phi, ~theta,
  0.6, 0.5,
  0.6, -0.3,
  -0.6, 0.5
)

pesos_arma11 <- pmap_dfr(
  parametros_psi,
  function(phi, theta) {
    h <- 0:20
    psi <- c(
      1,
      (phi + theta) * phi^(0:19)
    )

    tibble(
      h = h,
      psi = psi,
      Modelo = paste0("φ = ", phi, ", θ = ", theta)
    )
  }
)

ggplot(pesos_arma11, aes(x = h, y = psi)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_segment(aes(xend = h, yend = 0)) +
  facet_wrap(~Modelo, ncol = 1) +
  labs(
    x = "Rezago j",
    y = "ψ_j",
    title = "La parte AR gobierna la cola de la respuesta a impulsos"
  )

Figura 3.6: Pesos \(\psi_j\) de varios ARMA(1,1) causales.

3.10.2 Varianza y autocovarianza

Usando la representación causal,

\[ \gamma(0) = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j^2. \]

Con Ecuación 3.30,

\[ \begin{aligned} \gamma(0) &=\sigma_\varepsilon^2 \left[ 1+(\phi+\theta)^2 \sum_{j=0}^{\infty}\phi^{2j} \right]\\ &=\sigma_\varepsilon^2 \left[ 1+ \frac{(\phi+\theta)^2}{1-\phi^2} \right]\\ &= \sigma_\varepsilon^2 \frac{1+\theta^2+2\phi\theta}{1-\phi^2}. \end{aligned} \tag{3.31}\]

Para el primer rezago,

\[ \gamma(1) = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\psi_{j+1}. \]

Sustituyendo los pesos,

\[ \gamma(1) = \sigma_\varepsilon^2 \frac{(\phi+\theta)(1+\phi\theta)}{1-\phi^2}. \tag{3.32}\]

Para \(h\geq2\), la autocovarianza satisface

\[ \gamma(h)=\phi\gamma(h-1), \tag{3.33}\]

por lo que

\[ \gamma(h)=\phi^{h-1}\gamma(1), \qquad h\geq1. \]

En términos de autocorrelación,

\[ \rho(1) = \frac{(\phi+\theta)(1+\phi\theta)} {1+\theta^2+2\phi\theta}, \tag{3.34}\]

y

\[ \rho(h) = \phi^{h-1}\rho(1), \qquad h\geq1. \tag{3.35}\]

La ACF de un ARMA(1,1) no se corta. Después del primer rezago, su cola decae con la misma razón geométrica \(\phi\) que aparece en la parte AR. Este es un caso particular de la recurrencia general de la ACF de un ARMA (Prado et al. 2021, sec. 2.5.2; Shumway y Stoffer 2025, secs. 3.2–3.3).

3.10.3 Recurrencia general de la ACF

Para un ARMA(\(p,q\)), una vez superados los rezagos en los que la parte MA participa directamente, la autocovarianza satisface

\[ \gamma(h) - \phi_1\gamma(h-1) -\cdots- \phi_p\gamma(h-p) =0, \tag{3.36}\]

para \(h\geq\max(p,q+1)\) (Prado et al. 2021, sec. 2.5.2). Así, la cola de la ACF de un ARMA está gobernada por la parte AR.

3.11 ACF y PACF para identificación preliminar

Las propiedades poblacionales estudiadas durante las semanas 2 y 3 producen tres patrones clásicos (Shumway y Stoffer 2025, Table 3.1; Prado et al. 2021, sec. 2.5.2):

Tabla 3.2: Patrones poblacionales de ACF y PACF para modelos AR, MA y ARMA.

Modelo	ACF	PACF	Razon
AR(\(p\))	Cola: decaimiento exponencial o sinusoidal amortiguado	Corte después de \(p\)	El AR causal es un MA(\(\infty\))
MA(\(q\))	Corte después de \(q\)	Cola	El MA invertible es un AR(\(\infty\))
ARMA(\(p,q\))	Cola	Cola	Posee representaciones MA(\(\infty\)) y AR(\(\infty\))

En el caso MA(\(q\)), la PACF no se corta porque un MA invertible puede expresarse como un AR(\(\infty\)). En un ARMA invertible ocurre lo mismo: su representación autorregresiva requiere, en general, infinitos rezagos (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.16).

modelos_teoricos <- tribble(
  ~Modelo, ~ar, ~ma,
  "AR(2)", list(c(0.7, -0.2)), list(numeric()),
  "MA(2)", list(numeric()), list(c(0.7, 0.2)),
  "ARMA(1,1)", list(0.6), list(0.5)
)

lag_comp <- 24

acf_pacf_teoricas <- pmap_dfr(
  modelos_teoricos,
  function(Modelo, ar, ma) {
    acf_vals <- stats::ARMAacf(
      ar = unlist(ar),
      ma = unlist(ma),
      lag.max = lag_comp
    )

    pacf_vals <- stats::ARMAacf(
      ar = unlist(ar),
      ma = unlist(ma),
      lag.max = lag_comp,
      pacf = TRUE
    )

    bind_rows(
      tibble(
        h = 0:lag_comp,
        valor = as.numeric(acf_vals),
        Funcion = "ACF"
      ),
      tibble(
        h = 1:lag_comp,
        valor = as.numeric(pacf_vals),
        Funcion = "PACF"
      )
    ) |>
      mutate(Modelo = Modelo)
  }
)

ggplot(acf_pacf_teoricas, aes(x = h, y = valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_segment(aes(xend = h, yend = 0)) +
  facet_grid(Funcion ~ Modelo) +
  labs(
    x = "Rezago h",
    y = NULL,
    title = "Patrones poblacionales para identificación preliminar"
  )

Figura 3.7: ACF y PACF teóricas de un AR(2), un MA(2) y un ARMA(1,1).

AdvertenciaACF y PACF no identifican automáticamente un modelo

Los patrones de la Figura 3.7 son poblacionales. En una muestra, las barras fluctúan y varios modelos pueden producir gráficos parecidos. ACF y PACF sirven para proponer órdenes candidatos; la semana 4 incorporará estimación, criterios de información y diagnóstico residual antes de aceptar un modelo.

3.12 Pronóstico de modelos MA y ARMA

El pronóstico conecta directamente causalidad e invertibilidad. Supongamos que el modelo es causal e invertible y que, idealmente, conocemos toda la historia hasta el tiempo \(T\). Para simplificar, trabajaremos primero con el proceso centrado \(X_t\).

3.12.1 Pronóstico desde la representación causal

La representación causal es

\[ X_{T+h} = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j \varepsilon_{T+h-j}. \]

Los términos con \(j<h\) corresponden a innovaciones futuras respecto del tiempo \(T\), mientras los términos con \(j\geq h\) corresponden a innovaciones ocurridas en \(T,T-1,\ldots\). Como las innovaciones futuras tienen media condicional cero,

\[ \widehat X_{T+h\mid T} = E(X_{T+h}\mid\mathcal I_T) = \sum_{j=h}^{\infty}\psi_j \varepsilon_{T+h-j}. \tag{3.37}\]

La invertibilidad es lo que permite expresar, al menos en principio, las innovaciones pasadas mediante la historia observada de la serie (Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.4.2).

El error de pronóstico es

\[ e_T(h) = X_{T+h}-\widehat X_{T+h\mid T} = \sum_{j=0}^{h-1}\psi_j \varepsilon_{T+h-j}. \tag{3.38}\]

Por no-correlación de las innovaciones,

\[ \operatorname{Var}\{e_T(h)\} = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^2. \tag{3.39}\]

Si además el ruido blanco es gaussiano, la distribución predictiva es normal con esa media y varianza.

3.12.2 El caso MA(\(q\)): memoria predictiva finita

Para un MA(\(q\)), \(\psi_j=0\) cuando \(j>q\). Por ello,

\[ \widehat X_{T+h\mid T}=0, \qquad h>q. \tag{3.40}\]

En la escala original,

\[ \widehat Y_{T+h\mid T}=\mu, \qquad h>q. \]

Después de \(q\) pasos, ninguna innovación incluida en \(Y_{T+h}\) pertenece ya al conjunto de información del tiempo \(T\). La memoria predictiva del MA(\(q\)) es finita.

Para un MA(1), por ejemplo,

\[ \widehat X_{T+1\mid T} =\theta\varepsilon_T, \]

mientras

\[ \widehat X_{T+h\mid T}=0, \qquad h\geq2. \]

3.12.3 Pronóstico de un ARMA(1,1)

De Ecuación 3.29,

\[ X_{T+1} = \phi X_T +\varepsilon_{T+1} +\theta\varepsilon_T. \]

Así,

\[ \widehat X_{T+1\mid T} = \phi X_T+\theta\varepsilon_T. \tag{3.41}\]

Para dos pasos adelante,

\[ \widehat X_{T+2\mid T} =\phi\widehat X_{T+1\mid T}, \]

porque \(E(\varepsilon_{T+1}\mid\mathcal I_T)=0\). En general,

\[ \widehat X_{T+h\mid T} = \phi^{h-1} (\phi X_T+\theta\varepsilon_T), \qquad h\geq1. \tag{3.42}\]

Como \(|\phi|<1\), el pronóstico converge a cero para el proceso centrado y, por tanto, a \(\mu\) para \(Y_t\).

Usando Ecuación 3.30, la varianza del error es

\[ \operatorname{Var}\{e_T(h)\} = \sigma_\varepsilon^2 \left[ 1 +(\phi+\theta)^2 \sum_{j=0}^{h-2}\phi^{2j} \right], \]

para \(h\geq2\), es decir,

\[ \operatorname{Var}\{e_T(h)\} = \sigma_\varepsilon^2 \left[ 1 + (\phi+\theta)^2 \frac{1-\phi^{2(h-1)}}{1-\phi^2} \right]. \tag{3.43}\]

Para \(h=1\), la varianza es simplemente \(\sigma_\varepsilon^2\) (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.22).

3.12.4 Pronósticos a horizonte largo

En un ARMA causal, los pesos \(\psi_j\) decrecen y

\[ \widehat Y_{T+h\mid T} \longrightarrow\mu \]

cuando \(h\to\infty\). Además,

\[ \operatorname{Var}\{e_T(h)\} \longrightarrow \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j^2 = \gamma(0). \tag{3.44}\]

A horizontes largos se pierde la información específica del presente y la incertidumbre predictiva se aproxima a la variabilidad marginal del proceso (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.21).

3.13 Reconstrucción recursiva y pronóstico con parámetros conocidos

En datos reales no observamos directamente las innovaciones \(\varepsilon_t\). Sin embargo, cuando el modelo ARMA es invertible, estas innovaciones pueden reconstruirse aproximadamente a partir del presente y del pasado observado de la serie.

Para ver de dónde surge esta aproximación, consideremos un ARMA(1,1) de media cero,

\[ X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t + \theta\varepsilon_{t-1}. \]

Definamos

\[ U_t = X_t-\phi X_{t-1}. \]

Entonces,

\[ U_t = \varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}, \]

y, despejando la innovación actual,

\[ \varepsilon_t = U_t-\theta\varepsilon_{t-1}. \]

Sustituyendo recursivamente \(\varepsilon_{t-1}\), \(\varepsilon_{t-2}\), etc., obtenemos

\[ \begin{aligned} \varepsilon_t &= U_t-\theta U_{t-1} +\theta^2U_{t-2} -\cdots \\ &\quad +(-\theta)^mU_{t-m} +(-\theta)^{m+1}\varepsilon_{t-m-1}. \end{aligned} \]

Si el MA(1) es invertible, \(|\theta|<1\). En ese caso, al aumentar \(m\), el último término pierde importancia y se obtiene la representación infinita

\[ \varepsilon_t = \sum_{j=0}^{\infty} (-\theta)^j U_{t-j} = \sum_{j=0}^{\infty} (-\theta)^j \left( X_{t-j}-\phi X_{t-j-1} \right). \]

Esta expresión muestra que, en principio, la innovación \(\varepsilon_t\) depende de un pasado infinito de observaciones.

3.13.1 ¿Qué significa entonces “truncar”?

En una muestra real solo disponemos de un número finito de observaciones. Por ejemplo, si observamos

\[ X_1,\ldots,X_T, \]

no tenemos acceso a toda la historia \(\ldots,X_{-2},X_{-1},X_0\) ni a las innovaciones anteriores al comienzo de la muestra.

Por ello debemos detener, o truncar, la representación anterior en algún punto. Una posibilidad sencilla consiste en fijar artificialmente una innovación inicial, por ejemplo

\[ \widehat{\varepsilon}_0=0, \]

y, a partir de ella, reconstruir las innovaciones disponibles mediante

\[ \widehat{\varepsilon}_t = X_t-\phi X_{t-1} -\theta\widehat{\varepsilon}_{t-1}. \tag{3.45} \]

Así,

\[ \widehat{\varepsilon}_1 = X_1-\phi X_0, \]

\[ \widehat{\varepsilon}_2 = X_2-\phi X_1 -\theta\widehat{\varepsilon}_1, \]

y el procedimiento continúa hasta \(\widehat{\varepsilon}_T\).

La palabra truncada se refiere, por tanto, a que estamos ignorando la parte de la representación invertible que depende del pasado anterior al inicio de la muestra. No estamos aproximando la ecuación ARMA en cada instante; estamos aproximando únicamente la información inicial desconocida.

De hecho, al iterar la recursión desde \(\widehat{\varepsilon}_0=0\) se obtiene

\[ \widehat{\varepsilon}_t = \sum_{j=0}^{t-1} (-\theta)^j \left( X_{t-j}-\phi X_{t-j-1} \right). \]

En cambio, la innovación del proceso satisface

\[ \varepsilon_t = \sum_{j=0}^{t-1} (-\theta)^j \left( X_{t-j}-\phi X_{t-j-1} \right) + (-\theta)^t\varepsilon_0. \]

Por tanto, la diferencia entre la innovación reconstruida y la innovación que realmente generó el proceso proviene únicamente de la condición inicial.

Si definimos

\[ d_t = \widehat{\varepsilon}_t-\varepsilon_t, \]

entonces, como vimos anteriormente,

\[ d_t = (-\theta)^t d_0. \]

Cuando \(|\theta|<1\), esta diferencia desaparece geométricamente. En consecuencia, conforme nos alejamos del inicio de la muestra, la elección arbitraria de \(\widehat{\varepsilon}_0\) tiene cada vez menos influencia sobre las innovaciones reconstruidas.

Nota¿Qué se está truncando?

El término aproximación truncada no significa que se eliminen términos del modelo ARMA. Lo que se trunca es el pasado no observado requerido para reconstruir exactamente las innovaciones.

Al fijar, por ejemplo, \(\widehat{\varepsilon}_0=0\), sustituimos toda la información anterior al comienzo de la muestra por una condición inicial conveniente. La invertibilidad garantiza que el efecto de esta decisión desaparezca a medida que avanzamos en el tiempo.

simular_arma11 <- function(phi, theta, n, sigma = 1, burn = 400) {
  stopifnot(
    length(phi) == 1,
    length(theta) == 1,
    n >= 2,
    sigma > 0,
    abs(phi) < 1
  )

  total <- n + burn
  eps <- rnorm(total + 1, mean = 0, sd = sigma)
  x <- numeric(total + 1)

  for (t in 2:(total + 1)) {
    x[t] <- phi * x[t - 1] + eps[t] + theta * eps[t - 1]
  }

  keep <- (burn + 2):(total + 1)

  tibble(
    t = seq_len(n),
    x = x[keep],
    epsilon = eps[keep]
  )
}

reconstruir_arma11 <- function(x, phi, theta, epsilon0 = 0) {
  stopifnot(length(x) >= 2)

  eps_hat <- numeric(length(x))
  x_prev <- 0
  eps_prev <- epsilon0

  for (t in seq_along(x)) {
    eps_hat[t] <- x[t] - phi * x_prev - theta * eps_prev
    x_prev <- x[t]
    eps_prev <- eps_hat[t]
  }

  eps_hat
}

set.seed(415)
phi_demo_arma <- 0.65
theta_demo_arma <- 0.5
n_demo_arma <- 220

sim_arma11 <- simular_arma11(
  phi = phi_demo_arma,
  theta = theta_demo_arma,
  n = n_demo_arma,
  sigma = 1
) |>
  mutate(
    epsilon_hat = reconstruir_arma11(
      x,
      phi = phi_demo_arma,
      theta = theta_demo_arma,
      epsilon0 = 0
    )
  )

sim_arma11 |>
  filter(t > 140) |>
  select(t, `Verdadera` = epsilon, `Reconstruida` = epsilon_hat) |>
  pivot_longer(
    cols = -t,
    names_to = "Innovacion",
    values_to = "valor"
  ) |>
  ggplot(aes(x = t, y = valor, linetype = Innovacion)) +
  geom_line() +
  labs(
    x = "Tiempo",
    y = "Innovación",
    title = "La reconstrucción es estable cuando el modelo es invertible"
  )

Figura 3.8: Innovaciones verdaderas y reconstruidas en un ARMA(1,1) invertible con parámetros conocidos.

La coincidencia en la Figura 3.8 no significa que las innovaciones sean observadas: en la simulación las conocemos únicamente para verificar el algoritmo. En datos reales se dispone solo de la reconstrucción.

H_arma <- 20
x_T_arma <- tail(sim_arma11$x, 1)
eps_T_arma <- tail(sim_arma11$epsilon_hat, 1)

psi_arma11 <- c(
  1,
  (phi_demo_arma + theta_demo_arma) *
    phi_demo_arma^(0:(H_arma - 2))
)

pron_arma11 <- tibble(
  h = 1:H_arma,
  media = phi_demo_arma^(h - 1) *
    (phi_demo_arma * x_T_arma + theta_demo_arma * eps_T_arma),
  varianza = map_dbl(
    h,
    ~ sum(psi_arma11[seq_len(.x)]^2)
  )
) |>
  mutate(
    sd = sqrt(varianza),
    inferior = media + qnorm(0.025) * sd,
    superior = media + qnorm(0.975) * sd,
    tiempo = n_demo_arma + h
  )

hist_arma11 <- sim_arma11 |>
  filter(t > n_demo_arma - 70)

ggplot() +
  geom_line(
    data = hist_arma11,
    aes(x = t, y = x)
  ) +
  geom_ribbon(
    data = pron_arma11,
    aes(x = tiempo, ymin = inferior, ymax = superior),
    alpha = 0.2
  ) +
  geom_line(
    data = pron_arma11,
    aes(x = tiempo, y = media),
    linewidth = 0.8
  ) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(
    x = "Tiempo",
    y = "X_t",
    title = "El pronóstico ARMA converge hacia la media del proceso",
    subtitle = "φ = 0.65, θ = 0.5, σ_ε = 1"
  )

Figura 3.9: Pronóstico de un ARMA(1,1) con parámetros conocidos a partir de la última innovación reconstruida.

En la Figura 3.9 toda la incertidumbre proviene de innovaciones futuras porque tratamos los parámetros como conocidos. La incertidumbre de estimación se incorporará en las semanas 4 y 5.

3.14 Innovación, residual y error de pronóstico

Los tres términos se relacionan, pero no son intercambiables.

Tabla 3.3: Innovación, residual y error de pronóstico: objetos distintos.

Objeto	Notacion	Definicion	Observabilidad
Innovación del modelo	\(\varepsilon_t\)	Perturbación aleatoria que entra en la ecuación ARMA	Latente; no se observa directamente
Residual o innovación reconstruida	\(\widehat\varepsilon_t\)	Estimación de la innovación obtenida a partir de datos, parámetros y condiciones iniciales	Calculable después de especificar o ajustar el modelo
Error de pronóstico a horizonte \(h\)	\(e_T(h)=Y_{T+h}-\widehat Y_{T+h\mid T}\)	Diferencia entre un valor futuro y el pronóstico construido en \(T\)	Solo se observa ex post, cuando \(Y_{T+h}\) se vuelve disponible

Una innovación puede coincidir con un error de pronóstico de un paso en una formulación ideal con información completa y parámetros conocidos, pero en aplicaciones los residuales dependen de la estimación y de la inicialización. A horizontes mayores que uno, el error de pronóstico es una combinación de varias innovaciones futuras, como muestra Ecuación 3.38.

NotaEsta distinción prepara el diagnóstico de la semana 4

Cuando ajustemos modelos ARMA, buscaremos residuales que se comporten aproximadamente como las innovaciones postuladas por el modelo. Diagnosticar residuales no es lo mismo que observar directamente las perturbaciones verdaderas.

3.15 Aplicación: Recruitment revisitada desde AR, MA y ARMA

En Sección 2.12 examinamos la serie mensual rec de Shumway y Stoffer. La ACF muestral presenta una cola oscilatoria y la PACF concentra la señal principal en los primeros dos rezagos, patrón que los autores interpretan como compatible con un AR(2) (Shumway y Stoffer 2025, Example 3.17).

Esta semana podemos reinterpretar ese resultado usando la tabla completa de identificación:

• un MA(2) puro esperaría una ACF poblacional exactamente nula después del rezago 2;
• un ARMA mixto esperaría colas en ACF y PACF;
• un AR(2) espera una ACF con cola y una PACF con corte después del segundo rezago.

Volvemos a graficar las dos funciones para comparar la evidencia con estos patrones, sin ajustar todavía modelos candidatos.

if (!requireNamespace("astsa", quietly = TRUE)) {
  stop(
    "El ejemplo de Recruitment requiere el paquete 'astsa'. ",
    "Instálelo antes de compilar este capítulo."
  )
}

rec_env_arma <- new.env()
data("rec", package = "astsa", envir = rec_env_arma)
rec_obj_arma <- rec_env_arma$rec

rec_arma <- tibble(
  t = seq_along(rec_obj_arma),
  Reclutamiento = as.numeric(rec_obj_arma)
) |>
  as_tsibble(index = t)

stopifnot(
  nrow(rec_arma) > 100,
  !anyNA(rec_arma$Reclutamiento)
)

lag_rec_arma <- 48
T_rec_arma <- nrow(rec_arma)
banda_rec_arma <- 1.96 / sqrt(T_rec_arma)

acf_rec_arma <- stats::acf(
  rec_arma$Reclutamiento,
  lag.max = lag_rec_arma,
  plot = FALSE,
  demean = TRUE
)

pacf_rec_arma <- stats::pacf(
  rec_arma$Reclutamiento,
  lag.max = lag_rec_arma,
  plot = FALSE
)

acf_pacf_rec_arma <- bind_rows(
  tibble(
    h = 0:lag_rec_arma,
    valor = as.numeric(acf_rec_arma$acf),
    Funcion = "ACF"
  ),
  tibble(
    h = 1:lag_rec_arma,
    valor = as.numeric(pacf_rec_arma$acf),
    Funcion = "PACF"
  )
)

ggplot(acf_pacf_rec_arma, aes(x = h, y = valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 0.3) +
  geom_hline(
    yintercept = c(-banda_rec_arma, banda_rec_arma),
    linetype = "dashed"
  ) +
  geom_segment(aes(xend = h, yend = 0)) +
  facet_wrap(~Funcion, ncol = 1) +
  labs(
    x = "Rezago en meses",
    y = NULL,
    title = "Recruitment: la ACF tiene cola y la PACF concentra señal al inicio"
  )

Figura 3.10: ACF y PACF muestrales de Recruitment, reinterpretadas con los patrones AR/MA/ARMA.

La Figura 3.10 es más compatible con la firma preliminar de un AR de orden bajo que con un MA puro de orden bajo. Sin embargo, no utilizaremos esta observación para declarar un modelo definitivo. La semana 4 incorporará estimación, criterios de información y diagnóstico de residuos. Ese paso es necesario porque un ARMA mixto o un modelo mal especificado pueden producir patrones muestrales similares.

3.16 Actividad computacional guiada

3.16.1 Parte A. ACF de modelos MA

1. Para un MA(1) con \(\theta=0.6\), derive \(\gamma(0)\), \(\gamma(1)\) y \(\rho(1)\).
2. Simule \(T=300\) observaciones y compare la ACF muestral con la teórica.
3. Repita con \(\theta=-0.6\) y explique qué cambia.
4. Para un MA(2) con \((\theta_1,\theta_2)=(0.7,0.2)\), verifique computacionalmente que la ACF teórica es cero después del rezago 2.

3.16.2 Parte B. No unicidad e invertibilidad

Considere las parametrizaciones de Ecuación 3.16 y Ecuación 3.17.

1. Calcule analíticamente \(\gamma(0)\) y \(\gamma(1)\) en ambos casos.
2. Simule series largas de ambos modelos y compare varianza y ACF muestral.
3. Calcule la raíz de \(\Theta(z)\) con polyroot().
4. Identifique cuál parametrización es invertible.
5. Implemente ?eq-arma-ma1-recursion-innovacion con dos valores iniciales distintos y compare cómo evoluciona la diferencia entre reconstrucciones.

3.16.3 Parte C. Causalidad e invertibilidad mediante raíces

Para cada modelo, determine las raíces de \(\Phi(z)\) y \(\Theta(z)\) y clasifique la representación:

\[ (1-0.8B)X_t=(1+0.4B)\varepsilon_t, \]

\[ (1-1.1B)X_t=(1+0.4B)\varepsilon_t, \]

y

\[ (1-0.8B)X_t=(1+1.3B)\varepsilon_t. \]

Después verifique sus conclusiones con polyroot().

3.16.4 Parte D. Pesos \(\psi_j\)

Para el ARMA(1,1)

\[ X_t=0.7X_{t-1}+\varepsilon_t+0.5\varepsilon_{t-1}, \]

1. calcule \(\psi_0,\ldots,\psi_{10}\) usando Ecuación 3.30;
2. obtenga los mismos valores recursivamente usando Ecuación 3.28;
3. grafique los pesos;
4. explique qué parte del modelo determina el comportamiento para valores grandes de \(j\).

3.16.5 Parte E. Pronóstico con parámetros conocidos

Para el mismo ARMA(1,1), suponga \(X_T=2\), \(\varepsilon_T=-0.5\) y \(\sigma_\varepsilon=1\).

1. Calcule \(\widehat X_{T+h\mid T}\) para \(h=1,2,5,10\).
2. Calcule la varianza del error de pronóstico mediante Ecuación 3.39.
3. Construya intervalos gaussianos del 95 %.
4. Compare el límite del pronóstico medio y de la varianza con los resultados teóricos de Sección 3.12.4.

3.17 Puente hacia estimación e inferencia

Hasta aquí tratamos \(\phi_1,\ldots,\phi_p\), \(\theta_1,\ldots,\theta_q\) y \(\sigma_\varepsilon^2\) como conocidos. Esa simplificación permitió separar la estructura probabilística de los problemas inferenciales.

En un AR puro, una vez dados los primeros \(p\) valores, la ecuación se parece a una regresión lineal. En un ARMA con \(q>0\), en cambio, aparecen innovaciones pasadas no observadas:

\[ X_t - \sum_{i=1}^{p}\phi_iX_{t-i} = \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\theta_j\varepsilon_{t-j}. \]

Esto introduce dos dificultades que serán centrales en la semana 4:

1. las innovaciones deben reconstruirse o integrarse al construir la verosimilitud;
2. el tratamiento de condiciones iniciales afecta la diferencia entre aproximaciones condicionales y exactas.

Prado, Ferreira y West muestran explícitamente que la estimación ARMA requiere métodos numéricos y un tratamiento de las innovaciones iniciales más elaborado que en un AR puro (Prado et al. 2021, secs. 2.5.4.2–2.5.4.4). Shumway y Stoffer desarrollan posteriormente máxima verosimilitud, mínimos cuadrados y diagnóstico (Shumway y Stoffer 2025, sec. 3.5).

No desarrollaremos todavía una posterior bayesiana completa. Sin embargo, hay una consecuencia inmediata para la semana 5: si el modelo bayesiano se formula como ARMA causal e invertible, el soporte de la priori o la parametrización debe respetar las regiones correspondientes.

TipLas restricciones estructurales reaparecen en inferencia

Causalidad e invertibilidad no son detalles posteriores al ajuste. Definen qué parametrizaciones representan el modelo que pretendemos estimar y ayudan a evitar soluciones observacionalmente redundantes.

3.18 Síntesis

Las ideas centrales de la semana son las siguientes:

• un MA(\(q\)) expresa \(Y_t\) como una combinación finita de innovaciones presentes y pasadas;
• todo MA finito con ruido blanco es débilmente estacionario para cualquier conjunto finito de coeficientes; con innovaciones i.i.d. también es estrictamente estacionario;
• la ACF poblacional de un MA(\(q\)) se corta después del rezago \(q\) porque observaciones más separadas no comparten innovaciones;
• un MA(1) puede tener parametrizaciones observacionalmente equivalentes, lo que motiva imponer invertibilidad;
• invertibilidad significa que las innovaciones pueden expresarse como una combinación convergente de observaciones presentes y pasadas;
• para un MA(1), la condición de invertibilidad es \(|\theta|<1\);
• causalidad significa que el proceso puede expresarse como una combinación convergente de innovaciones presentes y pasadas;
• la causalidad de un ARMA en forma mínima depende de las raíces de \(\Phi(z)\); la invertibilidad depende de las raíces de \(\Theta(z)\);
• estacionariedad y causalidad no son sinónimos: un AR puede admitir una solución estacionaria no causal que depende de innovaciones futuras;
• un ARMA(\(p,q\)) debe expresarse en forma mínima, sin factores comunes entre \(\Phi\) y \(\Theta\);
• si un ARMA es causal e invertible, posee tanto una representación MA(\(\infty\)) como una representación AR(\(\infty\));
• la cola de la ACF de un ARMA está gobernada por la parte autorregresiva;
• para identificación preliminar: AR tiene ACF con cola y PACF con corte; MA tiene ACF con corte y PACF con cola; ARMA mixto suele tener cola en ambas;
• la representación causal conduce directamente al pronóstico y a la varianza del error \(h\) pasos adelante;
• en un MA(\(q\)), el pronóstico retorna a la media después de \(q\) pasos; en un ARMA causal, la convergencia es gradual y está gobernada por la dinámica AR;
• innovación, residual y error de pronóstico son objetos relacionados pero conceptualmente distintos.

En la semana 4 convertiremos estas propiedades estructurales en un procedimiento de modelación: construiremos verosimilitudes, estimaremos parámetros, compararemos órdenes y examinaremos si los residuales se comportan como las innovaciones postuladas por el modelo.

3.19 Ejercicios

3.19.1 Conceptuales

1. Memoria finita. Explique por qué \(Y_t\) y \(Y_{t-4}\) son incorrelacionados en un MA(3). ¿Qué innovaciones aparecen en cada observación?

2. Estacionariedad e invertibilidad. Un MA(1) tiene \(\theta=1.5\). ¿Es estacionario? ¿Es invertible bajo la convención de estas notas? Justifique ambas respuestas por separado.

3. Causalidad. Explique por qué la expresión “el modelo es causal” no debe interpretarse como una afirmación de causalidad científica entre variables.

4. Solución no causal. Para un AR(1) con \(\phi=1.2\), describa la diferencia entre decir “no existe una solución estacionaria causal” y decir “no existe ninguna solución estacionaria”.

5. Identificación. Una ACF muestral presenta dos barras grandes y luego valores pequeños, mientras la PACF decae gradualmente. ¿Qué clase de modelo sería un candidato inicial? ¿Por qué la conclusión no es definitiva?

6. Modelo mixto. Explique intuitivamente por qué en un ARMA(1,1) la parte MA afecta fuertemente los primeros rezagos pero la cola de la ACF termina gobernada por \(\phi\).

7. Factores comunes. ¿Por qué

\[ (1-0.5B)X_t=(1-0.5B)\varepsilon_t \]

no debe considerarse genuinamente un ARMA(1,1)?

8. Innovación frente a residual. Explique por qué \(\widehat\varepsilon_t\) no es exactamente lo mismo que \(\varepsilon_t\) cuando los parámetros son estimados y la muestra es finita.

3.19.2 Derivaciones

9. ACF de un MA(1). Derive Ecuación 3.13, Ecuación 3.14 y Ecuación 3.15 a partir de Ecuación 3.12.

10. Cota de \(\rho(1)\) en un MA(1). Demuestre que

\[ \left|\frac{\theta}{1+\theta^2}\right|\leq\frac12. \]

Indique para qué valores de \(\theta\) se alcanza la igualdad.

11. No unicidad. Demuestre que \(\theta\) y \(1/\theta\) generan la misma ACF en un MA(1). Luego determine qué ajuste de \(\sigma_\varepsilon^2\) hace iguales sus funciones de autocovarianza.

12. ACF de un MA(2). Derive \(\gamma(0)\), \(\gamma(1)\), \(\gamma(2)\) y demuestre que \(\gamma(h)=0\) para \(h\geq3\).

13. ACF general de un MA(\(q\)). Derive Ecuación 3.9 cuidando los índices de las innovaciones compartidas.

14. Invertibilidad de MA(1). Partiendo de \(\varepsilon_t=X_t-\theta\varepsilon_{t-1}\), derive Ecuación 3.18. Explique por qué la serie converge cuando \(|\theta|<1\).

15. Error de inicialización. Demuestre ?eq-arma-error-inicializacion. ¿Qué ocurre si \(|\theta|=1\)?

16. AR(1) no causal. Complete los pasos entre Ecuación 3.21 y Ecuación 3.22 y verifique que la varianza resultante es finita cuando \(|\phi|>1\).

17. Pesos de un ARMA(1,1). Derive Ecuación 3.30 a partir de la expansión de \((1+\theta B)/(1-\phi B)\).

18. Varianza de un ARMA(1,1). Utilice los pesos \(\psi_j\) para derivar Ecuación 3.31.

19. ACF de un ARMA(1,1). Derive Ecuación 3.32 y demuestre Ecuación 3.35.

20. Error de pronóstico. A partir de la representación causal, derive Ecuación 3.38 y Ecuación 3.39.

21. Pronóstico MA(\(q\)). Demuestre Ecuación 3.40 y explique por qué la propiedad no implica que las observaciones futuras sean independientes de toda la historia.

22. Límite predictivo. Demuestre Ecuación 3.44 para un proceso causal cuyos pesos \(\psi_j\) sean cuadrado-sumables.

3.19.3 Computacionales

23. Simulación MA(1). Para \(\theta\in\{-0.9,-0.4,0.4,0.9\}\), simule series de tamaño \(T=300\), grafique las ACF y compare \(\widehat\rho(1)\) con el valor teórico.

24. Tamaño de muestra y corte. Simule 300 realizaciones de un MA(2) con \(T=50\) y otras 300 con \(T=500\). Para cada serie guarde \(\widehat\rho(5)\). Compare las distribuciones de estas estimaciones y explique por qué el corte teórico puede resultar visualmente ambiguo en muestras pequeñas.

25. Raíces MA(2). Para cada par

\[ (\theta_1,\theta_2) \in \{(0.7,0.2),(1.3,0.4),(-0.6,0.8)\}, \]

calcule las raíces de \(1+\theta_1z+\theta_2z^2\) con polyroot() y determine invertibilidad.

26. Reconstrucción de innovaciones. Simule un MA(1) invertible y reconstruya \(\varepsilon_t\) usando ?eq-arma-ma1-recursion-innovacion con \(\widehat\varepsilon_0\in\{-10,0,10\}\). Grafique la diferencia entre reconstrucciones a lo largo del tiempo.

27. Caso no invertible. Repita el ejercicio anterior con \(|\theta|>1\). Explique numéricamente por qué la recursión es inestable.

28. Causalidad AR(2). Para los dos AR(2) de Sección 2.9.2, use polyroot() para verificar la condición de raíces y calcule los primeros 30 pesos \(\psi_j\). Relacione su forma con las raíces reales o complejas estudiadas en la semana 2.

29. ARMA(1,1) y ACF. Para \((\phi,\theta)=(0.6,0.5)\):

    1. calcule \(\rho(1)\) con Ecuación 3.34;
    2. obtenga \(\rho(1),\ldots,\rho(20)\) con Ecuación 3.35;
    3. verifique con stats::ARMAacf();
    4. simule una muestra y compare la ACF muestral.

30. ACF/PACF y clasificación. Simule, sin mostrar los parámetros a una segunda persona, una serie AR(2), una MA(2) y una ARMA(1,1). Pídale clasificar cada serie usando ACF/PACF. Después revele los modelos y discutan qué elementos de la muestra dificultaron la identificación.

31. Pronóstico ARMA(1,1). Implemente una función que reciba \(\phi\), \(\theta\), \(\sigma_\varepsilon\), \(X_T\), \(\widehat\varepsilon_T\) y \(H\), y devuelva la media, varianza e intervalo predictivo gaussiano para \(h=1,\ldots,H\).

32. Recruitment. Reproduzca Figura 3.10 con máximos rezagos 24, 48 y 72. Para cada gráfico, describa si la evidencia visual parece más compatible con AR, MA o ARMA. No ajuste todavía modelos; señale qué información adicional requeriría una decisión formal.

3.20 Lecturas recomendadas

Para esta semana:

• Shumway y Stoffer: secciones 3.1–3.4 para modelos AR, MA y ARMA, causalidad, invertibilidad, ecuaciones en diferencias, ACF/PACF y pronóstico; el Apéndice B.3 desarrolla con mayor formalidad la condición causal (Shumway y Stoffer 2025).
• Prado, Ferreira y West: secciones 2.5.1–2.5.4.1 para estructura ARMA, ACF/PACF, inversión de componentes y pronóstico (Prado et al. 2021).

La estimación se pospone deliberadamente. La semana 4 retomará estos mismos modelos para estudiar verosimilitud condicional y exacta, máxima verosimilitud, selección de orden y diagnóstico; la semana 5 incorporará la perspectiva bayesiana para modelos autorregresivos y la propagación de incertidumbre paramétrica hacia el pronóstico.

Prado, Raquel, Marco A. R. Ferreira, y Mike West. 2021. Time Series: Modeling, Computation, and Inference. 2.ª ed. Chapman; Hall/CRC.

Shumway, Robert H., y David S. Stoffer. 2025. Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. 5.ª ed. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-70584-7.