Un DLM de regresión
La regresión con errores ARIMA describe la dependencia residual sin obligar a que cambien los coeficientes. Una alternativa es permitir explícitamente que la relación entre \(Y_t\) y \(Z_t\) evolucione. Consideremos
\[
\begin{aligned}
Y_t&=\beta_{0,t}+\beta_{1,t}Z_t+v_t,
&v_t&\sim N(0,V),\\
\beta_{0,t}&=\beta_{0,t-1}+w_{0,t},
&w_{0,t}&\sim N(0,W_0),\\
\beta_{1,t}&=\beta_{1,t-1}+w_{1,t},
&w_{1,t}&\sim N(0,W_1).
\end{aligned}
\tag{14.18}\]
Suponemos inicialmente independencia mutua de los errores de observación y de evolución, en el tiempo y entre componentes, así como independencia respecto del estado inicial. En la notación de los capítulos 11–13:
\[
\underbrace{Y_t}_{1\times1}
=\underbrace{\boldsymbol F_t^\top}_{1\times2}
\underbrace{\boldsymbol x_t}_{2\times1}+v_t,
\qquad
\boldsymbol x_t=\boldsymbol G_t\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol w_t,
\tag{14.19}\]
con
\[
\boldsymbol x_t=\begin{pmatrix}\beta_{0,t}\\\beta_{1,t}\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol F_t=\begin{pmatrix}1\\Z_t\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol G_t=I_2,
\qquad
\boldsymbol W=\begin{pmatrix}W_0&0\\0&W_1\end{pmatrix}.
\tag{14.20}\]
La observación depende del predictor contemporáneo, pero el estado es latente. Dada la trayectoria de \(Z_t\), el modelo es lineal y gaussiano. La media \(\beta_{1,t}\) tiene una interpretación directa: representa la asociación lineal condicional contemporánea, que puede cambiar gradualmente. No es automáticamente un efecto causal.
Casos especiales y restricciones. Si \(W_1=0\), la pendiente se mantiene constante a lo largo de la trayectoria latente, aun cuando persista incertidumbre sobre su valor. Si \(W_1>0\), puede variar entre períodos. Si también \(W_0=0\), el estado completo es constante y se recupera una regresión con coeficientes desconocidos y ruido de observación independiente, no una regresión con errores ARIMA. Para obtener simultáneamente coeficientes dinámicos y errores AR(1) habría que ampliar el estado, por ejemplo para contener \(\eta_t\), lo cual aumenta las dificultades de identificación.
La actualización depende de la covariable
Sean \(\boldsymbol m_{t-1}\) y \(\boldsymbol C_{t-1}\) los momentos filtrados del estado. Las recursiones conocidas de Kalman se convierten en
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol a_t &=\boldsymbol m_{t-1},
&\boldsymbol R_t&=\boldsymbol C_{t-1}+\boldsymbol W,\\
f_t&=\boldsymbol F_t^\top\boldsymbol a_t,
&Q_t&=\boldsymbol F_t^\top\boldsymbol R_t\boldsymbol F_t+V,\\
\boldsymbol K_t&=\boldsymbol R_t\boldsymbol F_t/Q_t,
&\boldsymbol m_t&=\boldsymbol a_t+\boldsymbol K_t(y_t-f_t),\\
\boldsymbol C_t&=\boldsymbol R_t-
\boldsymbol R_t\boldsymbol F_tQ_t^{-1}\boldsymbol F_t^\top\boldsymbol R_t.
\end{aligned}
\tag{14.21}\]
Efecto del predictor sobre la ganancia de Kalman.
Para comprender cómo \(Z_t\) interviene en la actualización de los coeficientes, escribamos la matriz de covarianzas predictivas como
\[
\boldsymbol R_t=
\begin{pmatrix}
r_{00,t} & r_{01,t}\\
r_{01,t} & r_{11,t}
\end{pmatrix},
\]
donde \(r_{00,t}\) y \(r_{11,t}\) son las varianzas predictivas del intercepto y la pendiente, respectivamente, y \(r_{01,t}\) es su covarianza.
Como \(\boldsymbol F_t=(1,Z_t)^\top\), la varianza predictiva de la observación es
\[
Q_t=r_{00,t}+2Z_t r_{01,t}+Z_t^2r_{11,t}+V.
\]
Sustituyendo en la expresión de la ganancia de Kalman (Ecuación 14.21), obtenemos
\[
\boldsymbol K_t
=
\frac{1}{Q_t}
\begin{pmatrix}
r_{00,t}+Z_t r_{01,t}\\
r_{01,t}+Z_t r_{11,t}
\end{pmatrix}.
\tag{14.22}\]
Por consiguiente, la actualización de cada coeficiente es
\[
\begin{aligned}
m_{0,t}&=a_{0,t}+K_{0,t}(y_t-f_t),\\
m_{1,t}&=a_{1,t}+K_{1,t}(y_t-f_t).
\end{aligned}
\]
Cuando \(Z_t=0\), la ecuación de observación se reduce a \(Y_t=\beta_{0,t}+v_t\). En este caso, la ganancia correspondiente a la pendiente es
\[
K_{1,t}=\frac{r_{01,t}}{r_{00,t}+V}.
\]
Si \(r_{01,t}=0\), entonces \(K_{1,t}=0\) y la observación no modifica la estimación filtrada de la pendiente. Sin embargo, cuando \(r_{01,t}\neq 0\), la observación puede actualizar indirectamente la pendiente debido a su asociación predictiva con el intercepto.
Por tanto, un valor de \(Z_t\) próximo a cero reduce la información directa sobre la pendiente, pero no necesariamente elimina toda posibilidad de actualizarla.
Información sobre la pendiente e identificabilidad.
La cantidad de información aportada por una observación puede estudiarse mediante la reducción de la varianza posterior del coeficiente. A partir de la actualización de covarianzas de Kalman, la varianza filtrada de la pendiente es
\[
C_{11,t}
=
r_{11,t}
-
\frac{(r_{01,t}+Z_t r_{11,t})^2}{Q_t}.
\]
Para simplificar la interpretación, supongamos que \(r_{01,t}=0\). Entonces,
\[
C_{11,t}
=
\frac{r_{11,t}(r_{00,t}+V)}
{r_{00,t}+Z_t^2r_{11,t}+V}.
\tag{14.23}\]
Equivalentemente, podemos expresar la actualización en términos de precisión:
\[
\frac{1}{C_{11,t}}
=
\frac{1}{r_{11,t}}
+
\frac{Z_t^2}{r_{00,t}+V}.
\]
Esta última expresión permite observar que, manteniendo constantes las varianzas predictivas y \(V\), la información sobre la pendiente aumenta con \(Z_t^2\). Por tanto, valores grandes de \(|Z_t|\) pueden reducir considerablemente la incertidumbre sobre \(\beta_{1,t}\).
Es importante distinguir este resultado del comportamiento de la ganancia de Kalman. En efecto, cuando \(r_{01,t}=0\),
\[
K_{1,t}
=
\frac{Z_t r_{11,t}}
{r_{00,t}+Z_t^2r_{11,t}+V},
\]
que no necesariamente aumenta de manera monótona con \(|Z_t|\), pues el predictor aparece tanto en el numerador como en el denominador.
Por otra parte, la variabilidad del predictor a lo largo del tiempo es fundamental para identificar los coeficientes. Si \(Z_t\approx c\) durante muchos períodos, entonces
\[
Y_t\approx\beta_{0,t}+c\beta_{1,t}+v_t.
\]
En estas condiciones, las observaciones informan principalmente sobre la combinación \(\beta_{0,t}+c\beta_{1,t}\), dificultando distinguir las contribuciones individuales del intercepto y la pendiente. Si los coeficientes fueran constantes y \(Z_t=c\) exactamente, las columnas de la matriz de diseño serían linealmente dependientes. En un DLM, las distribuciones a priori y las restricciones de evolución pueden regularizar la estimación, aunque no sustituyen la información que proporciona la variabilidad del predictor.
Finalmente, la mayor información potencial asociada con valores extremos de \(Z_t\) depende de que el modelo esté correctamente especificado. Si existen observaciones atípicas, relaciones no lineales omitidas o una especificación inadecuada de \(V\), el filtro puede atribuir erróneamente discrepancias del modelo a cambios en los coeficientes dinámicos.
Por ello, una observación potencialmente muy informativa no es necesariamente una observación fiable. La interpretación de las actualizaciones debe acompañarse del diagnóstico de las innovaciones y de una evaluación de la sensibilidad a los supuestos del modelo.
